Calcule o volume do sólido cuja base é o semicírculo x² + y² ≤ r², y ≥ 0, e cujas seções perpendiculares ao eixo x são triângulos equiláteros.

Para calcular o volume do sólido descrito, podemos utilizar o método de integração. Primeiro, vamos encontrar a equação do semicírculo: x² + y² ≤ r², y ≥ 0 y² ≤ r² - x² y ≤ √(r² - x²) Agora, vamos encontrar a altura do triângulo equilátero em cada seção perpendicular ao eixo x. Sabemos que a base do triângulo é igual ao diâmetro do semicírculo, que é 2r. Portanto, a altura do triângulo é: h = √3/2 * base h = √3/2 * 2r h = √3 * r Assim, o volume do sólido é dado por: V = ∫[0,r] πy² dx V = π ∫[0,r] (r² - x²) dx V = π [r²x - (1/3)x³] [0,r] V = π [r³ - (1/3)r³] V = π [2/3 r³] Portanto, o volume do sólido é (2/3)πr³.