Calcule o volume do sólido cuja base é a região 4x² + y² ≤ 1 e cujas seções perpendiculares ao eixo x são semicírculos.

Question

Ed · Answer

Para calcular o volume do sólido cuja base é a região definida por $4x^2 + y^2 \leq 1$ e cujas seções perpendiculares ao eixo $x$ são semicírculos, siga os passos abaixo:

1. **Identifique a base**: A equação $4x^2 + y^2 = 1$ representa uma elipse. Podemos reescrever isso como $\frac{x^2}{\frac{1}{4}} + \frac{y^2}{1} = 1$, indicando que a elipse tem semi-eixos $a = \frac{1}{2}$ e $b = 1$.

2. **Determine a altura do semicírculo**: Para cada valor de $x$, a altura do semicírculo é dada pela distância máxima de $y$ na elipse. Resolvendo para $y$:
   $$
   y = \sqrt{1 - 4x^2}
   $$
   Assim, a altura do semicírculo é $h = 2\sqrt{1 - 4x^2}$.

3. **Área da seção transversal**: A área $A$ de um semicírculo é dada por:
   $$
   A = \frac{1}{2} \pi r^2
   $$
   Onde $r$ é o raio. O raio do semicírculo é metade da altura, ou seja:
   $$
   r = \sqrt{1 - 4x^2}
   $$
   Portanto, a área da seção transversal é:
   $$
   A = \frac{1}{2} \pi \left(\sqrt{1 - 4x^2}\right)^2 = \frac{1}{2} \pi (1 - 4x^2)
   $$

4. **Volume do sólido**: O volume $V$ do sólido é obtido integrando a área da seção transversal ao longo do intervalo de $x$ que corresponde à elipse. O intervalo de $x$ é de $-\frac{1}{2}$ a $\frac{1}{2}$:
   $$
   V = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} A \, dx = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} \pi (1 - 4x^2) \, dx
   $$

5. **Calcule a integral**:
   $$
   V = \frac{\pi}{2} \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (1 - 4x^2) \, dx
   $$
   $$
   = \frac{\pi}{2} \left[ x - \frac{4}{3}x^3 \right]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}
   $$
   $$
   = \frac{\pi}{2} \left[ \left(\frac{1}{2} - \frac{4}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^3\right) - \left(-\frac{1}{2} + \frac{4}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^3\right) \right]
   $$
   $$
   = \frac{\pi}{2} \left[ \frac{1}{2} - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8} + \frac{1}{2} - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8} \right]
   $$
   $$
   = \frac{\pi}{2} \left[ 1 - \frac{1}{6} \right] = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5\pi}{12}
   $$

Portanto, o volume do sólido é $V = \frac{5\pi}{12}$.

Ed · Answer

Para calcular o volume do sólido descrito, podemos utilizar o método dos discos. Como as seções perpendiculares ao eixo x são semicírculos, podemos considerar que o sólido é formado por uma pilha de discos de raio r e espessura dx.

O raio r de cada disco é dado pela equação da circunferência que forma a seção transversal do sólido: 4x² + y² = 1. Isolando y², temos y² = 1 - 4x², o que nos dá y = √(1 - 4x²). Portanto, o raio r é dado por r = √(1 - 4x²).

A área de cada disco é dada por A = πr², e o volume do sólido é dado pela integral do produto da área do disco pela sua espessura dx, no intervalo em que a equação 4x² + y² = 1 é válida:

V = ∫[de -1/2 até 1/2] πr² dx
V = ∫[de -1/2 até 1/2] π(1 - 4x²) dx
V = π ∫[de -1/2 até 1/2] (1 - 4x²) dx
V = π [x - 4x³/3] [de -1/2 até 1/2]
V = π [(1/2 - 4/3) - (-1/2 + 4/3)]
V = π (2/3)
V = (2π/3) unidades cúbicas

Portanto, o volume do sólido é (2π/3) unidades cúbicas.

Matemática Aplicada

Calcule o volume do sólido cuja base é a região 4x² + y² ≤ 1 e cujas seções perpendiculares ao eixo x são semicírculos.

Lista de Exercícios Cálculo 1 Unicamp Aplicações da Integral

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Use a fórmula do comprimento de arco para encontrar o comprimento da curva y = √(2− x²), 0 ≤ x ≤ 1.
Verifique sua resposta observando que a curva é parte de um círculo.

a) Determine uma curva que passa pelo ponto (1, 1), cuja integral do comprimento seja L = ∫(4 to 1) √(1 + 1/(4x)) dx.

Use a fórmula de comprimento de arco para determinar o comprimento do segmento de reta y = 3 − 2x, 0 ≤ x ≤ 2.
Verifique sua resposta determinando o comprimento do segmento como sendo a hipotenusa de um triângulo retângulo.

Calcule o volume do sólido cuja base é o semicírculo x² + y² ≤ r², y ≥ 0, e cujas seções perpendiculares ao eixo x são triângulos equiláteros.

Calcule o volume do sólido cuja base é o quadrado de vértices (0, 0), (1, 1), (0, 1) e (1, 0) e cujas seções perpendiculares ao eixo x são triângulos isósceles de altura x − x².

Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x, do gráfico da função dada.
a) f(x) = (e^x + e^(−x))/2, −1 ≤ x ≤ 1
b) f(x) = √(R² − x²), −R ≤ x ≤ R (R > 0)
c) y = x², 0 ≤ x < 12
d) y = √x, 1 ≤ x ≤ 4

Determine a área da superfície obtida pela rotação, em torno do eixo y, do gráfico y = (x²)/2, 0 ≤ x ≤ 1.

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a) Determine uma curva que passa pelo ponto (1, 1), cuja integral do comprimento seja L = ∫(4 to 1) √(1 + 1/(4x)) dx.

Use a fórmula de comprimento de arco para determinar o comprimento do segmento de reta y = 3 − 2x, 0 ≤ x ≤ 2.Verifique sua resposta determinando o comprimento do segmento como sendo a hipotenusa de um triângulo retângulo.

Calcule o volume do sólido cuja base é o semicírculo x² + y² ≤ r², y ≥ 0, e cujas seções perpendiculares ao eixo x são triângulos equiláteros.

Calcule o volume do sólido cuja base é o quadrado de vértices (0, 0), (1, 1), (0, 1) e (1, 0) e cujas seções perpendiculares ao eixo x são triângulos isósceles de altura x − x².

Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x, do gráfico da função dada.a) f(x) = (e^x + e^(−x))/2, −1 ≤ x ≤ 1b) f(x) = √(R² − x²), −R ≤ x ≤ R (R > 0)c) y = x², 0 ≤ x < 12d) y = √x, 1 ≤ x ≤ 4

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a) f(x) = (e^x + e^(−x))/2, −1 ≤ x ≤ 1
b) f(x) = √(R² − x²), −R ≤ x ≤ R (R > 0)
c) y = x², 0 ≤ x < 12
d) y = √x, 1 ≤ x ≤ 4