Determine o centro de massa da região A dada por 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0 e y ≥ 0. (Sugestão: Com as funções f e g dadas por 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ f(x)...

Para determinar o centro de massa da região A, podemos utilizar o Teorema de Pappus. Primeiramente, precisamos encontrar a área da região A. Podemos reescrever a desigualdade 1 ≤ x² + y² ≤ 4 como 1 ≤ r ≤ 2, onde r é a distância do ponto (x,y) até a origem. Assim, a região A é formada por um anel de raio interno 1 e raio externo 2, limitado pelo eixo x e pelo eixo y. Podemos dividir a região A em duas partes: a parte superior, limitada pela curva y = f(x) = √(4 - x²), e a parte inferior, limitada pelo eixo x. Para calcular a área da parte superior, podemos integrar a função f(x) no intervalo [0,1] e multiplicar por 2, já que a parte inferior é simétrica. Assim, temos: A = 2 ∫₀¹ √(4 - x²) dx Fazendo a substituição trigonométrica x = 2sin(t), temos: A = 4 ∫₀^(π/2) cos²(t) dt A = 4 ∫₀^(π/2) (1 + cos(2t))/2 dt A = 2π A área da região A é 2π. Agora, podemos calcular as coordenadas do centro de massa utilizando o Teorema de Pappus. Temos: Vx = ∫∫ A y dA / A Vy = ∫∫ A x dA / A Onde dA é um elemento de área da região A. Podemos escrever a região A como: A = {(r,θ) | 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π} Assim, temos: dA = r dr dθ Podemos calcular as integrais utilizando coordenadas polares. Temos: Vx = (1/A) ∫∫ A y r dr dθ Vx = (1/2π) ∫₀²π ∫₁² y r dr dθ Vx = (1/2π) ∫₀²π ∫₁² f(x) x dx dθ Vx = (1/2π) ∫₀²π ∫₀¹ 2y² dx dθ Vx = (1/π) ∫₀²π ∫₀¹ (4 - x²) dx dθ Vx = (1/π) ∫₀²π (4 - 1/3) dθ Vx = (7/3) Vy = (1/A) ∫∫ A x r dr dθ Vy = (1/2π) ∫₀²π ∫₁² x r dr dθ Vy = (1/2π) ∫₀²π ∫₀¹ x f(x) dx dθ Vy = (1/2π) ∫₀²π ∫₀¹ 2xy² dx dθ Vy = 0 Assim, o centro de massa da região A está localizado em (7/3, 0).