Suponha r > 0. Prove: | x | > r ⇔ x < -r ou x > r Elimine o módulo. | x + 1 | + | x | Prove: | x + y | = | x | + | y | ⇔ xy ≥ 0. Prove: | x - y | ...

Para provar que |x| > r ⇔ x < -r ou x > r, podemos dividir em duas partes: 1. Se |x| > r, então x < -r ou x > r: Se |x| > r, então x pode ser positivo ou negativo. Se x for positivo, então x > r. Se x for negativo, então |x| = -x e -x > r, o que implica que x < -r. Portanto, se |x| > r, então x < -r ou x > r. 2. Se x < -r ou x > r, então |x| > r: Se x < -r, então -x > r, o que implica que |x| = -x > r. Se x > r, então |x| = x > r. Portanto, se x < -r ou x > r, então |x| > r. Para eliminar o módulo em |x + 1| + |x|, podemos dividir em duas partes: 1. Se x ≥ -1, então |x + 1| = x + 1 e |x| = x: | x + 1 | + | x | = (x + 1) + x = 2x + 1 2. Se x < -1, então |x + 1| = -(x + 1) e |x| = -x: | x + 1 | + | x | = -(x + 1) - x = -2x - 1 Portanto, |x + 1| + |x| = 2x + 1 se x ≥ -1 e |x + 1| + |x| = -2x - 1 se x < -1. Para provar que |x + y| = |x| + |y| ⇔ xy ≥ 0, podemos dividir em duas partes: 1. Se |x + y| = |x| + |y|, então xy ≥ 0: Se x e y tiverem o mesmo sinal, então xy ≥ 0. Se x e y tiverem sinais opostos, então |x + y| = |x| + |y| implica que |x| > |y| ou |y| > |x|. Sem perda de generalidade, suponha que |x| > |y|. Então, x² = |x|² > |y|² = y², o que implica que xy > 0. 2. Se xy ≥ 0, então |x + y| = |x| + |y|: Se x e y tiverem o mesmo sinal, então |x + y| = |x| + |y|. Se x e y tiverem sinais opostos, sem perda de generalidade, suponha que x > 0 e y < 0. Então, |x + y| = x - y = |x| + |-y| = |x| + |y|. Para provar que |x - y| ≥ |x| - |y|, podemos dividir em duas partes: 1. Se x ≥ y, então |x - y| ≥ |x| - |y|: | x - y | = |x + (-y)| ≤ |x| + |-y| = |x| + |y| = |x| - (-|y|) ≤ |x| - |y| 2. Se x < y, então |x - y| ≥ |x| - |y|: | x - y | = |(-y) + x| ≤ |-y| + |x| = |y| + |x| = |x| - (-|y|) ≤ |x| - |y| Portanto, |x - y| ≥ |x| - |y|.