Considere o polinômio P (x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 em que a0, a1, a2 e a3 são reais fixos. Seja x0 um real dado. Mostre que existem constantes A0...

A partir do polinômio P(x) = a0 + a1x + a2x² + a3x³, podemos escrever: P(x) = A0 + A1(x - x0) + A2(x - x0)² + A3(x - x0)³ Para encontrar as constantes A0, A1, A2 e A3, podemos utilizar o método das diferenças divididas de Newton. Esse método consiste em encontrar as diferenças divididas de ordem zero, um, dois e três, que são dadas por: f[x0] = P(x0) = a0 f[x0, x1] = (f[x1] - f[x0]) / (x1 - x0) = a1 + 2a2x0 + 3a3x0² f[x0, x1, x2] = (f[x1, x2] - f[x0, x1]) / (x2 - x0) = 2a2 + 6a3x0 f[x0, x1, x2, x3] = (f[x1, x2, x3] - f[x0, x1, x2]) / (x3 - x0) = 6a3 A partir dessas diferenças divididas, podemos encontrar as constantes A0, A1, A2 e A3: A0 = f[x0] = a0 A1 = f[x0, x1] = a1 + 2a2x0 + 3a3x0² A2 = f[x0, x1, x2] = 2a2 + 6a3x0 A3 = f[x0, x1, x2, x3] = 6a3 Portanto, podemos escrever o polinômio P(x) como: P(x) = a0 + (a1 + 2a2x0 + 3a3x0²)(x - x0) + (2a2 + 6a3x0)(x - x0)² + 6a3(x - x0)³ Essa é a expressão para P(x) em termos das constantes A0, A1, A2 e A3.