32. ITA-SP O polinômio com coeficientes reais P(x) = x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 tem duas raízes distintas, cada uma delas com multiplicid...
P(x) = x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0
tem duas raízes distintas, cada uma delas com multiplicidade 2, e duas de suas raízes são
2 e i. Então, a soma dos coeficientes é igual a:
a) –4 d) 1
b) –6 e) 4
c) –1
O polinômio com coeficientes reais P(x) = x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 tem duas raízes distintas, cada uma delas com multiplicidade 2, e duas de suas raízes são 2 e i.
Então, a soma dos coeficientes é igual a:
a) –4
b) –6
c) –1
d) 1
e) 4
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💡 1 Resposta
Ed 
Para resolver esse problema, podemos usar o fato de que as raízes do polinômio são 2, 2, i, -i e outra raiz real. Como as raízes 2 e i têm multiplicidade 2, podemos escrever o polinômio como: P(x) = (x - 2)²(x - i)²(x + i)(x - r) onde r é a outra raiz real. Expandindo essa expressão, obtemos: P(x) = (x² - 4x + 4)(x² - 2ix + 1)(x - r) P(x) = (x⁴ - 6x² + 8x - 1)(x - r) Comparando os coeficientes de x⁵, x⁴, x³, x², x e constante, obtemos o seguinte sistema de equações: - r = 1 - -6 + 8 - r²a₄ = 0 - 8r - 2r²a₄ - a₃ = 0 - -6r²a₄ + 2ra₃ - a₂ = 0 - r²a₄ - ra₃ + a₂ - ra₁ = 0 - -a₀ = 2 Substituindo r = 1, obtemos: - a₄ = 1 - a₃ = 8 - a₂ = 20 - a₁ = 19 - a₀ = -2 Portanto, a soma dos coeficientes é: a₄ + a₃ + a₂ + a₁ + a₀ = 1 + 8 + 20 + 19 - 2 = 46 Portanto, a alternativa correta é a letra E) 4.
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