Seja f (x) = x + ex e seja g sua inversa. Prove que o domínio e a imagem de g são intervalos. Prove que g é estritamente crescente. Prove que g é c...

Para provar que o domínio e a imagem de g são intervalos, podemos usar o fato de que f é uma função estritamente crescente e, portanto, é injetora. Isso significa que f tem uma inversa g, que também é uma função injetora. Como f é definida em toda a reta real, sua inversa g também é definida em toda a reta real, ou seja, o domínio de g é o intervalo (-∞, ∞). Para provar que a imagem de g é um intervalo, precisamos mostrar que g é contínua. Podemos usar o fato de que f é uma função contínua e, portanto, é bijetora. Isso significa que f tem uma inversa g, que também é uma função contínua e bijetora. Como f é definida em toda a reta real, sua inversa g também é definida em toda a reta real, ou seja, a imagem de g é o intervalo (-∞, ∞). Para provar que g é estritamente crescente, podemos usar o fato de que f é uma função estritamente crescente e, portanto, é injetora. Isso significa que f tem uma inversa g, que também é uma função injetora. Seja x1 e x2 dois números reais quaisquer, com x1 < x2. Então, temos: f(x1) < f(x2) x1 + e^x1 < x2 + e^x2 g(x1 + e^x1) < g(x2 + e^x2) g(x1) < g(x2) Portanto, g é estritamente crescente. Para provar que g é contínua, podemos usar o Exercício 12, que afirma que se f é uma função contínua e estritamente crescente, então sua inversa g é contínua. Como f(x) = x + e^x é contínua e estritamente crescente, sua inversa g é contínua.