Seja f(x) = x + ex. Mostre que f é inversível e esboce os gráficos de f e de sua inversa. Seja f uma função cujo domínio e imagem são intervalos. P...

Para mostrar que a função f(x) = x + ex é inversível, precisamos mostrar que ela é injetora e sobrejetora. Para mostrar que f(x) é injetora, precisamos mostrar que se f(a) = f(b), então a = b. Assim, suponha que f(a) = f(b). Temos que a + ea = b + eb. Rearranjando, temos que (a - b)e = b - a. Como e é positivo, temos que a = b, o que mostra que f(x) é injetora. Para mostrar que f(x) é sobrejetora, precisamos mostrar que para todo y em R, existe um x em R tal que f(x) = y. Assim, suponha que y seja um número real qualquer. Queremos encontrar um x tal que f(x) = y. Rearranjando a equação, temos que x = y - ex. Como ex é sempre positivo, podemos escolher y grande o suficiente para que y - ex seja qualquer número real, o que mostra que f(x) é sobrejetora. Portanto, f(x) é inversível. Para esboçar o gráfico de f e sua inversa, podemos usar a simetria em relação à reta y = x. O gráfico de f é uma curva crescente que passa pela origem e se aproxima da reta y = x à medida que x cresce. O gráfico da inversa de f é a reflexão do gráfico de f em relação à reta y = x. Para provar que se f for estritamente crescente (ou estritamente decrescente), então f será contínua, podemos usar o teorema do valor intermediário. Suponha que f seja estritamente crescente e que a < b. Então, para qualquer número c entre f(a) e f(b), existe um número x entre a e b tal que f(x) = c. Como f é estritamente crescente, temos que f(a) < f(x) < f(b), o que mostra que f é contínua. Para provar que o domínio e a imagem de g são intervalos, podemos usar o fato de que f é inversível. Como f é injetora e sobrejetora, sua inversa g existe e é única. Portanto, o domínio de g é o mesmo que a imagem de f, que é R. Além disso, a imagem de g é o mesmo que o domínio de f, que também é R. Para provar que g é estritamente crescente, podemos usar o fato de que f é crescente. Como g é a inversa de f, temos que g é a reflexão de f em relação à reta y = x. Portanto, se f é crescente, então g é crescente também. Para provar que g é contínua, podemos usar o fato de que f é contínua. Como g é a inversa de f, temos que g é a reflexão de f em relação à reta y = x. Portanto, se f é contínua, então g é contínua também. Finalmente, para provar que se f for definida, contínua e injetora no intervalo I, então f será estritamente crescente ou estritamente decrescente, podemos usar o teorema do valor intermediário novamente. Suponha que f seja definida, contínua e injetora no intervalo I. Seja a < b em I. Então, para qualquer número c entre f(a) e f(b), existe um número x entre a e b tal que f(x) = c. Como f é injetora, temos que f(a) ≠ f(b), o que implica que f(a) < f(b) ou f(a) > f(b). Portanto, f é estritamente crescente ou estritamente decrescente em I.