DEMONSTRAÇÃO DA PROPRIEDADE (7) DA SEÇÃO 2.2 Teorema. Existe a > 0 tal que cos a = 0. Demonstração Suponhamos, por absurdo, que não exista um tal n...

DEMONSTRAÇÃO DA PROPRIEDADE (7) DA SEÇÃO 2.2 Teorema. Existe a > 0 tal que cos a = 0. Demonstração Suponhamos, por absurdo, que não exista um tal número a. Como cos 0 = 1 e cos x é uma função contínua, segue do teorema do valor intermediário que cos x > 0 para todo x ≥ 0; como sen′ = cos, teríamos que a função sen x seria estritamente crescente em [0, +∞[ e como sen 0 = 0, teríamos sen x > 0 em ]0, +∞[. De cos′ = −sen, seguiria, então, que cos x seria estritamente decrescente em [0, +∞[. Como cos x ≥ 0 e sen x ≤ 1 em [0, +∞[, existiriam, então, reais α e β, com α ∈ ]0, 1] e β ∈ [0, 1[, tais que Teríamos, também, Como sen 2x = 2 sen x cos x e cos 2x = 2 cos2x − 1, passando ao limite, para x → +∞, resulta α = 2 α β e β = 2 β2 − 1 que admite como única solução o par (α, β) em que α = 0 e β = 1, que contradiz a condição α ∈ ]0, 1] e β ∈ [0, 1[. Tal contradição é consequência de termos admitido a não existência de um a > 0, com cos a = 0. Fica provado assim que existe a > 0 com cos a = 0. ■ Propriedade (7). Existe um menor número a > 0 tal que cos a = 0. Demonstração O conjunto A = {x > 0 | cos x = 0} é não vazio e limitado inferiormente; logo, admite ínfimo a. Provemos que a ∈ A. Se cos a ≠ 0, pela conservação do sinal, existe r > 0 tal que cos x ≠ 0 para a < x < a + r, que contradiz o fato de a ser o ínfimo de A. Segue que a é o mínimo de A, ou seja, a é o menor real > 0 tal que cos a = 0. ■