Seja A o conjunto do plano de todos os (x, y) tais que 0 ≤ a ≤ x ≤ b, 0 ≤ f(x) ≤ y ≤ g(x), em que f e g são supostas contínuas em [a, b]. Imagine A...

Para determinar o centro de massa da região A dada por 1 ≤ x² + y² ≤ 4, x ≥ 0 e y ≥ 0, podemos seguir os seguintes passos: 1. Definir as funções f(x) e g(x) que delimitam a região A. Neste caso, temos que f(x) = 0 e g(x) = √(4 - x²). 2. Calcular a área de A. Podemos fazer isso integrando a função g(x) - f(x) no intervalo [0, 2], o que nos dá uma área de A igual a 2π. 3. Calcular o centro de massa de A. Para isso, precisamos calcular as integrais duplas de x e y sobre a região A, divididas pela área de A. Podemos fazer isso usando coordenadas polares, o que nos dá: - x̄ = (1/2π) ∫[0,π] ∫[1,2] r cos(θ) r dr dθ + (1/2π) ∫[π/4,π/2] ∫[0,2cos(θ)] r cos(θ) r dr dθ - ȳ = (1/2π) ∫[0,π] ∫[1,2] r sin(θ) r dr dθ + (1/2π) ∫[π/4,π/2] ∫[0,2cos(θ)] r sin(θ) r dr dθ Resolvendo essas integrais, encontramos que x̄ = 4/3 e ȳ = 4/3. 4. Calcular Vy e Vx usando o teorema de Pappus. Para isso, precisamos calcular o comprimento das circunferências geradas pela rotação de A em torno dos eixos x e y, respectivamente. Podemos fazer isso usando a fórmula 2πr, onde r é a distância do centro de massa ao eixo de rotação. Neste caso, temos que: - r_x = ȳ = 4/3 - r_y = x̄ = 4/3 Substituindo esses valores na fórmula de Pappus, encontramos que Vy = 32π/9 e Vx = 32π/9. Portanto, o centro de massa da região A dada por 1 ≤ x² + y² ≤ 4, x ≥ 0 e y ≥ 0 é (4/3, 4/3), Vy = 32π/9 e Vx = 32π/9.