Sejam f e g duas funções definidas e deriváveis em ℝ. Suponha que f (0) = 0, g (0) = 1 e que para todo x f′(x) = g (x) e g′ (x) = −f (x). Mostre qu...

Sejam f e g duas funções definidas e deriváveis em ℝ. Suponha que f (0) = 0, g (0) = 1 e que para todo x f′(x) = g (x) e g′ (x) = −f (x). Mostre que, para todo x, (f (x) − sen x)2 + (g (x) − cos x)2 = 0. Conclua de (a) que f (x) = sen x e g (x) = cos x.

Pré - Cálculo

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Desafios Para o Conhecimento

11/03/2024

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Pré - Cálculo • Universidade Federal FluminenseUniversidade Federal Fluminense

Verônica de Lima

💡 1 Resposta

11.03.2024

Podemos começar a demonstração da seguinte forma: Seja h(x) = (f(x) - sen(x))^2 + (g(x) - cos(x))^2. Então, h'(x) = 2(f(x) - sen(x))f'(x) + 2(g(x) - cos(x))g'(x) Como f'(x) = g(x) e g'(x) = -f(x), temos: h'(x) = 2(f(x) - sen(x))g(x) - 2(g(x) - cos(x))f(x) h'(x) = 2f(x)g(x) - 2sen(x)g(x) - 2g(x)f(x) + 2cos(x)f(x) h'(x) = 2(cos(x)f(x) - sen(x)g(x)) - 2(cos(x)f(x) - sen(x)g(x)) h'(x) = 0 Portanto, h(x) é constante. Como h(0) = 0, temos que h(x) = 0 para todo x. Assim, (f(x) - sen(x))^2 + (g(x) - cos(x))^2 = 0 Logo, f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x).