Antes de provar o teorema enunciado no início da seção, vamos mostrar que se m, n, p e α são reais dados, então existem reais m1, n1 e p1 tais que ...

O objetivo é mostrar que a equação quadrática mx² + nx + p pode ser escrita na forma m1(x - α)² + n1(x - α) + p1. Para isso, podemos usar o método de completar o quadrado. Começamos escrevendo a equação na forma mx² + nx + p = m(x² + (n/m)x) + p. Em seguida, adicionamos e subtraímos (n/2m)² dentro do parêntese, de modo que: mx² + nx + p = m(x² + (n/m)x + (n/2m)² - (n/2m)²) + p mx² + nx + p = m(x + n/2m)² - m(n/2m)² + p mx² + nx + p = m(x + n/2m)² - mn²/4m + p mx² + nx + p = m(x + n/2m)² + (4mp - mn²)/4m Agora, podemos escolher m1 = m, n1 = -mn/2m e p1 = (4mp - mn²)/4m, de modo que: mx² + nx + p = m1(x - (-n/2m))² + n1(x - (-n/2m)) + p1 mx² + nx + p = m1(x - α)² + n1(x - α) + p1 Portanto, a equação quadrática mx² + nx + p pode ser escrita na forma m1(x - α)² + n1(x - α) + p1, como desejado.