Mostre que P(x) = 1 − x2 + x4 − x6 + x8 − x10 é o polinômio de Taylor, de ordem 10, de f em volta de x0 = 0. (Não é necessário calcular as derivada...

O polinômio de Taylor de ordem n de uma função f(x) em torno de x0 é dado por: Pn(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0)/1! + f''(x0)(x-x0)²/2! + ... + fⁿ(x0)(x-x0)ⁿ/n! Para mostrar que P(x) = 1 − x² + x⁴ − x⁶ + x⁸ − x¹⁰ é o polinômio de Taylor de ordem 10 de f em torno de x0 = 0, basta verificar que os coeficientes de P(x) são iguais aos coeficientes do polinômio de Taylor de ordem 10 de f(x) em torno de x0 = 0. Assim, temos: f(x) = 1/(1+x²) f'(x) = -2x/(1+x²)² f''(x) = (2-6x²)/(1+x²)³ f'''(x) = (-24x+24x³)/(1+x²)⁴ f⁴(x) = (24-96x²+24x⁴)/(1+x²)⁵ f⁵(x) = (-960x+480x³-80x⁵)/(1+x²)⁶ f⁶(x) = (480-4800x²+2400x⁴-480x⁶)/(1+x²)⁷ f⁷(x) = (40320x-53760x³+16800x⁵-2240x⁷)/(1+x²)⁸ f⁸(x) = (40320-725760x²+564480x⁴-211680x⁶+33888x⁸)/(1+x²)⁹ f⁹(x) = (-3628800x+6531840x³-3326400x⁵+665280x⁷-60480x⁹)/(1+x²)¹⁰ f¹⁰(x) = (-3628800+79833600x²-69854400x⁴+31541760x⁶-7567560x⁸+831600x¹⁰)/(1+x²)¹¹ Substituindo x0 = 0, temos: f(0) = 1 f'(0) = 0 f''(0) = 2 f'''(0) = 0 f⁴(0) = -24 f⁵(0) = 0 f⁶(0) = 720 f⁷(0) = 0 f⁸(0) = -40320 f⁹(0) = 0 f¹⁰(0) = 3628800 Assim, o polinômio de Taylor de ordem 10 de f(x) em torno de x0 = 0 é: P(x) = 1 + 0x - x² + 0x³ + x⁴ - 0x⁵ - x⁶ + 0x⁷ + x⁸ - 0x⁹ - x¹⁰ Para mostrar que a função E(x) = f(x) - P(x) é contínua em [-1,1], basta verificar que E(x) é uma soma finita de funções contínuas. Para calcular o polinômio de Taylor de ordem 11 de g(x) = arctan(x) em torno de x0 = 0, podemos usar a fórmula do polinômio de Taylor e as derivadas de g(x): g(x) = arctan(x) g'(x) = 1/(1+x²) g''(x) = -2x/(1+x²)² g'''(x) = (6x²-2)/(1+x²)³ g⁴(x) = (-24x+24x³)/(1+x²)⁴ g⁵(x) = (120x²-48)/(1+x²)⁵ g⁶(x) = (-720x+480x³)/(1+x²)⁶ g⁷(x) = (5040x²-3360)/(1+x²)⁷ g⁸(x) = (-40320x+40320x³)/(1+x²)⁸ g⁹(x) = (362880x²-362880)/(1+x²)⁹ g¹⁰(x) = (-3628800x+4354560x³)/(1+x²)¹⁰ g¹¹(x) = (39916800x²-51840000)/(1+x²)¹¹ Substituindo x0 = 0, temos: g(0) = 0 g'(0) = 1 g''(0) = 0 g'''(0) = -2 g⁴(0) = 0 g⁵(0) = 24 g⁶(0) = 0 g⁷(0) = -720 g⁸(0) = 0 g⁹(0) = 362880 g¹⁰(0) = 0 g¹¹(0) = -39916800 Assim, o polinômio de Taylor de ordem 11 de g(x) = arctan(x) em torno de x0 = 0 é: P(x) = 0 + 1x + 0x² - 1x³ + 0x⁴ + 1x⁵ + 0x⁶ - 1x⁷ + 0x⁸ + 1x⁹ + 0x¹⁰ - 1x¹¹ Para determinar o polinômio de Taylor de ordem n de f(x) = (1+x)α em torno de x0 = 0, podemos usar a fórmula do polinômio de Taylor e as derivadas de f(x): f(x) = (1+x)α f'(x) = α(1+x)α-1 f''(x) = α(α-1)(1+x)α-2 f'''(x) = α(α-1)(α-2)(1+x)α-3 f⁴(x) = α(α-1)(α-2)(α-3)(1+x)α-4 f⁵(x) = α(α-1)(α-2)(α-3)(α-4)(1+x)α-5 f⁶(x) = α(α-1)(α-2)(α-3)(α-4)(α-5)(1+x)α-6 f⁷(x) = α(α-1)(α-2)(α-3)(α-4)(α-5)(α-6)(1+x)α-7 f⁸(x) = α(α-1)(α-2)(α-3)(α-4)(α-5)(α-6)(α-7)(1+x)α-8 f⁹(x) = α(α-1)(α-2)(α-3)(α-4)(α-5)(α-6)(α-7)(α-8)(1+x)α-9 f¹⁰(x) = α(α-1)(α-2)(α-3)(α-4)(α-5)(α-6)(α-7)(α-8)(α-9)(1+x)α-10 ... fⁿ(x) = α(α-1)(α-2)...(α-n+1)(1+x)α-n Substituindo x0 = 0, temos: f(0) = 1 f'(0) = α f''(0) = α(α-1) f'''(0) = α(α-1)(α-2) f⁴(0) = α(α-1)(α-2)(α-3) f⁵(0) = α(α-1)(α-2)(α-3)(α-4) f⁶(0) = α(α-1)(α-2)(α-3)(α-4)(α-5) f⁷(0) = α(α-1)(α-2)(α-3)(α-4)(α-5)(α-6) f⁸(0) = α(α-1)(α-2)(α-3)(α-4)(α-5)(α-6)(α-7) f⁹(0) = α(α-1)(α-2)(α-3)(α-4)(α-5)(α-6)(α-7)(α-8) f¹⁰(0) = α(α-1)(α-2)(α-3)(α-4)(α-5)(α-6)(α-7)(α-8)(α-9) ... fⁿ(0) = α(α-1)(α-2)...(α-n+1) Assim, o polinômio de Taylor de ordem n de f(x) = (1+x)α em torno de x0 = 0 é: P(x) = 1 + αx + α(α-1)x²/2! + α(α-1)(α-2)x³/3! + ... + α(α-1)...(α-n+1)xⁿ/n! O erro E(x) em termos da derivada de ordem n+1 é dado por: E(x) = (1+x)ⁿ+1/(n+1)! * fⁿ+¹(ξ) * xⁿ+1, onde ξ está entre 0 e x. Espero ter ajudado!