Seja f a função definida nos pares ordenados: (1, 2.718) (1.1, 3.004) e (1.2, 3.320). O valor da aproximação de f(1.05), pelo polinômio interpolador de Lagrange de grau 2, é: a. 2.85275. b. 2.85725. c. 2.83275. d. impossível de ser determinado. e. 2.57825.

Question

Seja f a função definida nos pares ordenados: (1, 2.718) (1.1, 3.004) e (1.2, 3.320). O valor da aproximação de f(1.05), pelo polinômio interpolado...

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Para encontrar o valor da aproximação de $ f(1.05) $ pelo polinômio interpolador de Lagrange de grau 2, precisamos usar a fórmula do polinômio interpolador de Lagrange. A fórmula é dada por:

$$
P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \cdot L_i(x)
$$

onde $ L_i(x) $ é a base de Lagrange definida como:

$$
L_i(x) = \prod_{\substack{0 \leq j \leq n \ j \neq i}} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}
$$

Para os pontos dados:
- $ (1, 2.718) $
- $ (1.1, 3.004) $
- $ (1.2, 3.320) $

Vamos calcular $ P(1.05) $:

1. **Cálculo de $ L_0(1.05) $**:
   $$
   L_0(1.05) = \frac{(1.05 - 1.1)(1.05 - 1.2)}{(1 - 1.1)(1 - 1.2)} = \frac{(-0.05)(-0.15)}{(-0.1)(-0.2)} = \frac{0.0075}{0.02} = 0.375
   $$

2. **Cálculo de $ L_1(1.05) $**:
   $$
   L_1(1.05) = \frac{(1.05 - 1)(1.05 - 1.2)}{(1.1 - 1)(1.1 - 1.2)} = \frac{(0.05)(-0.15)}{(0.1)(-0.1)} = \frac{-0.0075}{-0.01} = 0.75
   $$

3. **Cálculo de $ L_2(1.05) $**:
   $$
   L_2(1.05) = \frac{(1.05 - 1)(1.05 - 1.1)}{(1.2 - 1)(1.2 - 1.1)} = \frac{(0.05)(-0.05)}{(0.2)(0.1)} = \frac{-0.0025}{0.02} = -0.125
   $$

Agora, substituímos os valores na fórmula do polinômio interpolador:

$$
P(1.05) = 2.718 \cdot L_0(1.05) + 3.004 \cdot L_1(1.05) + 3.320 \cdot L_2(1.05)
$$

$$
P(1.05) = 2.718 \cdot 0.375 + 3.004 \cdot 0.75 + 3.320 \cdot (-0.125)
$$

Calculando cada termo:

- $ 2.718 \cdot 0.375 = 1.0185 $
- $ 3.004 \cdot 0.75 = 2.253 $
- $ 3.320 \cdot (-0.125) = -0.415 $

Agora somamos:

$$
P(1.05) = 1.0185 + 2.253 - 0.415 = 2.8565
$$

Aproximando, temos $ P(1.05) \approx 2.85725 $.

Portanto, a alternativa correta é: **b. 2.85725**.

Ed · Answer

Para encontrar a aproximação de f(1.05) pelo polinômio interpolador de Lagrange de grau 2, precisamos primeiro encontrar o polinômio interpolador de Lagrange de grau 2 que passa pelos pontos dados.

O polinômio interpolador de Lagrange de grau 2 é dado por:

L(x) = f(x0) * ((x - x1) * (x - x2)) / ((x0 - x1) * (x0 - x2)) + f(x1) * ((x - x0) * (x - x2)) / ((x1 - x0) * (x1 - x2)) + f(x2) * ((x - x0) * (x - x1)) / ((x2 - x0) * (x2 - x1))

Substituindo os valores dados, temos:

L(x) = 2.718 * ((x - 1.1) * (x - 1.2)) / ((1 - 1.1) * (1 - 1.2)) + 3.004 * ((x - 1) * (x - 1.2)) / ((1.1 - 1) * (1.1 - 1.2)) + 3.32 * ((x - 1) * (x - 1.1)) / ((1.2 - 1) * (1.2 - 1.1))

Simplificando, temos:

L(x) = -0.3625x^2 + 2.8575x - 0.1775

Agora, podemos encontrar a aproximação de f(1.05) substituindo x = 1.05 em L(x):

L(1.05) = -0.3625(1.05)^2 + 2.8575(1.05) - 0.1775

L(1.05) = 2.85275

Portanto, a alternativa correta é a letra a) 2.85275.

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Considere a função f definida na tabela a seguir: x -1 0 3; f(x) 15 8 -1.
Fazendo uso da interpolação de Newton, sobre todos os pontos, a aproximação do valor de f(1) é:
a. 0,0
b. 1,0
c. 2,5
d. 2,0
e. 3,0

Considere a função f definida nos valores tabelados a seguir: xi 2 3 5; f(xi) 2 1 2.
Usando o método de Newton para interpolação, o valor aproximado para f(4) é:
a. 1,0.
b. 1,5.
c. 1,75.
d. 0,5.
e. 0.

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Considere a função f definida nos valores tabelados a seguir: xi 2 3 5; f(xi) 2 1 2.Usando o método de Newton para interpolação, o valor aproximado para f(4) é:a. 1,0.b. 1,5.c. 1,75.d. 0,5.e. 0.

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b. 1,5.
c. 1,75.
d. 0,5.
e. 0.