Prove que o conjunto vazio tem medida nula. Prove que se A e B tiverem medida nula, então A ∪ B também terá medida nula. Utilizando o critério de L...

Para provar que o conjunto vazio tem medida nula, basta utilizar a definição de medida de Lebesgue, que diz que a medida de um conjunto é igual à infimum das medidas dos conjuntos abertos que contêm o conjunto em questão. Como não há conjuntos abertos que contenham o conjunto vazio, a infimum é zero, logo o conjunto vazio tem medida nula. Para provar que se A e B tiverem medida nula, então A ∪ B também terá medida nula, basta utilizar a propriedade aditiva da medida de Lebesgue, que diz que a medida da união de dois conjuntos disjuntos é igual à soma das medidas de cada conjunto. Como A e B têm medida nula, a medida da união A ∪ B é igual a zero + zero = zero, logo A ∪ B também tem medida nula. Utilizando o critério de Lebesgue, concluímos que [0, 1] não tem medida nula, pois a medida de [0, 1] é igual à medida do conjunto dos números racionais em [0, 1], que é igual a zero. Utilizando o critério de Lebesgue, podemos provar que se f for integrável em [a, b], então f será contínua em pelo menos um ponto p ∈ [a, b]. A ideia da prova é mostrar que se f não for contínua em nenhum ponto de [a, b], então a integral de f em [a, b] será infinita, o que contradiz a hipótese de que f é integrável. A prova completa pode ser encontrada em livros de análise matemática. Suponha f integrável em [a, b] e f(x) > 0 em [a, b]. Para provar que |f| e f² também são integráveis em [a, b], basta utilizar a desigualdade |f(x)| ≤ f²(x) para todo x em [a, b], e aplicar o critério de comparação de integrais. Para provar que o conjunto dos números irracionais em [0, 1] não tem medida nula, basta utilizar o fato de que o conjunto dos números racionais em [0, 1] tem medida nula, e que a medida de [0, 1] é igual à medida da união dos conjuntos dos números racionais e irracionais em [0, 1]. Como a medida de [0, 1] é não nula e a medida dos números racionais em [0, 1] é nula, concluímos que a medida dos números irracionais em [0, 1] é não nula. Um exemplo de um conjunto não enumerável que tem medida nula é o conjunto de Cantor, que pode ser construído a partir da remoção de um terço do intervalo [0, 1] repetidamente. O conjunto de Cantor tem medida nula, mas é não enumerável. Para decidir se uma função é integrável ou não utilizando o critério de Lebesgue, é necessário verificar se a função satisfaz as condições do critério, que envolvem a existência de funções majorantes e minorantes integráveis. A resposta para essa pergunta depende da função em questão.