acréscimo na ordenada da reta tangente T, correspondente ao acréscimo dx em x, teremos ou dy = f′(x) dx Observe que Δy = f (x + dx) − f (x) é o acr...

acréscimo na ordenada da reta tangente T, correspondente ao acréscimo dx em x, teremos ou dy = f′(x) dx Observe que Δy = f (x + dx) − f (x) é o acréscimo que a função sofre quando se passa de x a x + dx. O acréscimo dy pode então ser olhado como um valor aproximado para Δy; evidentemente, o erro “Δy − dy” que se comete na aproximação de Δy por dy será tanto menor quanto menor for dx. Fixado x, podemos olhar para a função linear que a cada dx ∈ ℝ, associa dy ∈ ℝ, em que dy = f′(x)dx. Tal função denomina-se diferencial de f em x, ou, simplesmente, diferencial de y = f (x). EXEMPLO 1. Seja y = x2. Relacione Δy com dy. Solução Assim, a diferencial de y = x2 é dada por dy = 2x dx. Por outro lado Δy = (x + dx)2 − x2 ou seja Δy = 2x dx + (dx)2 e, portanto, Δy − dy = (dx)2. Observe que, quanto menor for dx, mais próximo estará dy de Δy. ■ EXEMPLO 2. Seja A = πr2. Calcule a diferencial de A = A (r). Interprete. Solução A diferencial de A = πr2 é dada por dA = 2πr dr. Interpretação A = πr2 é a fórmula que nos fornece a área de um círculo em função do raio r; dA = 2πr dr é então um valor aproximado para o acréscimo ΔA na área A correspondente ao acréscimo dr em r. Observe que ΔA é a área da região hachurada e que dA = 2πr dr é a área de um retângulo de comprimento 2πr (2πr é o comprimento da circunferência de raio r) e altura dr. Vamos calcular o erro que se comete na aproximação Temos ΔA = π(r + dr)2 − πr2 = 2πr dr + π (dr)2 daí ΔA − dA = π (dr)2. Deste modo, o erro que se comete na aproximação ① é igual a π (dr)2, que é a área de um círculo de raio dr. ■ EXEMPLO 3. Utilizando a diferencial, calcule um valor aproximado para o acréscimo Δy que a função y = x2 sofre quando se passa de x = 1 a 1 + dx = 1,001. Calcule o erro.

a)
b)
c)