INTERPRETAÇÃO DE COMO UM QUOCIENTE. DIFERENCIAL Até aqui, tem sido visto como uma simples notação para a derivada de y = f(x). O que faremos a segu...

INTERPRETAÇÃO DE COMO UM QUOCIENTE. DIFERENCIAL Até aqui, tem sido visto como uma simples notação para a derivada de y = f(x). O que faremos a seguir é interpretar como um quociente entre dois acréscimos. Inicialmente, vamos olhar para dx como um acréscimo em x e, em seguida, procuraremos uma interpretação para o acréscimo dy. Sabemos que f′(x) é o coeficiente angular da reta tangente T, no ponto (x, f(x)), e que Se olharmos, então, para dy como o acréscimo na ordenada da reta tangente T, correspondente ao acréscimo dx em x, teremos ou dy = f′(x) dx. Observe que Δy = f(x + dx) − f(x) é o acréscimo que a função sofre quando se passa de x a x + dx. O acréscimo dy pode então ser olhado como um valor aproximado para Δy; evidentemente, o erro “Δy − dy” que se comete na aproximação de Δy por dy será tanto menor quanto menor for dx. Fixado x, podemos olhar para a função linear que a cada dx ∈ ℝ, associa dy ∈ ℝ, em que dy = f′(x)dx. Tal função denomina-se diferencial de f em x, ou, simplesmente, diferencial de y = f(x). EXEMPLO 1. Seja y = x2. Relacione Δy com dy. Solução Assim, a diferencial de y = x2 é dada por dy = 2x dx. Por outro lado Δy = (x + dx)2 − x2 ou seja, Δy = 2x dx + (dx)2 e, portanto, Δy − dy = (dx)2. Observe que, quanto menor for dx, mais próximo estará dy de Δy. ■ EXEMPLO 2. Seja A = πr2. Calcule a diferencial de A = A(r). Interprete. Solução A diferencial de A = πr2 é dada por dA = 2πr dr. Interpretação A = πr2 é a fórmula que nos fornece a área de um círculo em função do raio r; dA = 2πr dr é então um valor aproximado para o acréscimo ΔA na área A correspondente ao acréscimo dr em r. Observe que ΔA é a área da região hachurada e que dA = 2πr dr é a área de um retângulo de comprimento 2πr (2πr é o comprimento da circunferência de raio r) e altura dr. Vamos calcular o erro que se comete na aproximação Temos ΔA = π(r + dr)2 − πr2 = 2πr dr + π (dr)2 daí ΔA − dA = π (dr)2. Deste modo, o erro que se comete na aproximação ① é igual a π (dr)2, que é a área de um círculo de raio dr. ■ EXEMPLO 3. Utilizando a diferencial, calcule um valor aproximado para o acréscimo Δy que a função y = x2 sofre quando se passa de x = 1 a 1 + dx = 1,001. Calcule o erro. Solução A diferencial de y = x2, em x, é: dy = 2x dx. Em x = 1 dy = 2dx. Como dx = 0,001, resulta que dy = 0,002 é um valor aproximado para o acréscimo Δy = (1,001)2 − 12. O erro que se comete na aproximação Δy ≅ dy é igual a 0,000001. Observe que 1 + dy = 1,002 é um valor aproximado para (1,001)2, com erro igual a 10−6. ■ EXEMPLO 4. Utilizando a diferencial, calcule um valor aproximado para Avalie o erro. Solução Consideremos a função Primeiro vamos calcular dy para x = 1 e dx = 0,01. Temos: Em x = 1, Portanto, para dx = 0,01. Assim, 1 + dy = 1,005 é um valor aproximado (por excesso) de Como 1,004 é um valor aproximado por falta ((1,004)2 < 1,01) segue que com erro, em módulo, inferior a 0,001. ■ Exercícios 7.14 Calcule a diferencial. y = x3 y = x2 − 2x Seja A = l2, l > 0. Calcule a diferencial. b) 3. a) b) 4. a) b) 7.15. Interprete geometricamente o erro que se comete na aproximação de ΔA por dA. (Olhe para A = l2 como a fórmula para o cálculo da área do quadrado de lado l.) Seja Calcule a diferencial. Interprete geometricamente dV. (Lembre-se de que V é o volume da esfera de raio r e que 4πr2 é a área da superfície esférica de raio r.) Seja y = x2 + 3x. Calcule a diferencial. Calcule o erro que se comete na aproximação de Δy por dy. Interprete graficamente. VELOCIDADE E ACELERAÇÃO. TAXA DE VARIAÇÃO Suponhamos que uma partícula se desloca sobre