EXEMPLO 6. As equações paramétricas do movimento de uma partícula no plano são Quais as posições da partícula nos instantes t = 0, Qual a trajetóri...

As equações paramétricas do movimento da partícula são x = et cos(t) e y = et sen(t), 0 ≤ t ≤ π. a) No instante t = 0, a partícula encontra-se na posição (0, 0). b) A trajetória descrita pela partícula é uma espiral. c) A distância percorrida pela partícula entre os instantes t = 0 e t = π é 2π. Para determinar a distância percorrida pela partícula entre os instantes t = 0 e t = T, em que T é o instante em que a partícula volta a tocar o eixo x, é necessário encontrar o valor de T. Para isso, iguala-se a equação y = et sen(t) a zero e resolve-se para t. Temos: et sen(t) = 0 t = kπ, onde k é um número inteiro. Como a partícula volta a tocar o eixo x em T, temos que T = 2kπ. Assim, a distância percorrida pela partícula entre os instantes t = 0 e t = T é dada por: d = ∫0T √(x'(t)² + y'(t)²) dt Calculando as derivadas de x(t) e y(t), temos: x'(t) = e^t(cos(t) - sen(t)) y'(t) = e^t(sen(t) + cos(t)) Substituindo na fórmula da distância percorrida, temos: d = ∫0T √(e^(2t)) dt d = ∫0T e^t dt d = e^T - 1 Como T = 2kπ, temos: d = e^(2kπ) - 1 Portanto, a distância percorrida pela partícula entre os instantes t = 0 e t = T é dada por e^(2kπ) - 1, onde k é um número inteiro.