6. Mostre que √2 é irracional.

Para mostrar que √2 é irracional, podemos usar o método da contradição. Suponha que √2 seja racional, ou seja, que possa ser escrito na forma de fração irreduzível p/q, onde p e q são inteiros e não têm fatores em comum. Então, podemos elevar ambos os lados da equação ao quadrado e obter 2 = p²/q². Isso implica que p² é par, o que significa que p é par. Se p é par, podemos escrevê-lo como p = 2k, onde k é um inteiro. Substituindo p = 2k na equação 2 = p²/q², obtemos 2 = (2k)²/q², o que simplifica para 2q² = 4k² ou q² = 2k². Isso implica que q² é par, o que significa que q é par. Mas isso contradiz nossa suposição inicial de que p/q é uma fração irreduzível, já que p e q têm um fator comum de 2. Portanto, nossa suposição inicial de que √2 é racional é falsa, e concluímos que √2 é irracional.