Exercício 2. Mostre que √2 + √3 é um número irracional. √2 + √3 é um número irracional.

Para mostrar que √2 + √3 é um número irracional, podemos usar o método da contradição. Suponha que √2 + √3 seja um número racional. Então, podemos escrevê-lo na forma de fração, ou seja, √2 + √3 = a/b, onde a e b são inteiros e b ≠ 0. Podemos elevar ambos os lados da equação ao quadrado, o que nos dá: 2 + 2√6 + 3 = a²/b² Simplificando, temos: 5 + 2√6 = a²/b² Agora, podemos isolar a raiz quadrada e elevar ambos os lados da equação ao quadrado novamente: 2√6 = a²/b² - 5 24 = a⁴/b⁴ + 25 - 2a²/b² Multiplicando ambos os lados por b⁴, temos: 24b⁴ = a⁴ + 25b⁴ - 2a²b² Observe que a⁴ e a²b² são números pares, pois a é um inteiro. Portanto, 2a²b² é um número par e a⁴ + 25b⁴ é um número ímpar. Logo, a soma desses dois termos é um número ímpar. No entanto, 24b⁴ é um número par, o que é uma contradição. Portanto, nossa suposição inicial de que √2 + √3 é um número racional é falsa. Concluímos que √2 + √3 é um número irracional.