7. Mostre que √2.3.5 é irracional.

Para mostrar que √2.3.5 é irracional, podemos usar o método da contradição. Suponha que √2.3.5 seja racional. Então, podemos escrevê-lo na forma de fração irreduzível, ou seja, na forma a/b, onde a e b são inteiros e não têm fatores em comum. Assim, temos que: √2.3.5 = a/b Elevando ambos os lados ao quadrado, temos: 2.3.5 = a²/b² 30b² = a² Isso significa que a² é um múltiplo de 30 e, portanto, a é um múltiplo de √30. Se a é um múltiplo de √30, então podemos escrever a na forma a = k.√30, onde k é um número inteiro. Substituindo a na equação original, temos: √2.3.5 = k.√30/b Multiplicando ambos os lados por b, temos: √2.3.5.b = k.√30 Elevando ambos os lados ao quadrado, temos: 2.3.5.b² = k².30 30b² = k².30 b² = k² Isso significa que b é um múltiplo de k. Mas isso contradiz a suposição de que a/b é uma fração irreduzível. Portanto, nossa suposição inicial de que √2.3.5 é racional é falsa e, portanto, √2.3.5 é irracional.