(Ita 2000) Quantos números de seis algarismos distintos podemos formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posiçõ...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o Princípio da Adição e o Princípio da Multiplicação. Primeiro, vamos calcular quantos números podemos formar com os seis algarismos distintos, sem nenhuma restrição. Para isso, basta calcularmos 6! (6 fatorial), que é igual a 720. Agora, vamos calcular quantos números podemos formar em que o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes. Podemos resolver esse problema por complementação, ou seja, calculando quantos números podemos formar em que o 1 e o 2 estão juntos e subtraindo esse valor de 720. Para calcular quantos números podemos formar em que o 1 e o 2 estão juntos, podemos considerar o 1 e o 2 como um único algarismo. Assim, temos cinco algarismos distintos: 12, 3, 4, 5 e 6. Podemos permutar esses algarismos de 5! maneiras. No entanto, o 1 e o 2 podem ocupar duas posições diferentes (1º e 2º algarismos ou 2º e 3º algarismos), o que nos dá um fator de 2. Portanto, o número de números que podemos formar em que o 1 e o 2 estão juntos é 2 x 5! = 240. Agora, vamos calcular quantos números podemos formar em que o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes. Podemos considerar o 3 e o 4 como um único algarismo. Assim, temos cinco algarismos distintos: 1, 2, 34, 5 e 6. Podemos permutar esses algarismos de 5! maneiras. No entanto, o 3 e o 4 podem ocupar duas posições diferentes (1º e 2º algarismos ou 2º e 3º algarismos), o que nos dá um fator de 2. Portanto, o número de números que podemos formar em que o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes é 2 x 5! = 240. Agora, vamos calcular quantos números podemos formar em que o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes e o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes. Para isso, podemos considerar o 3 e o 4 como um único algarismo e o 1 e o 2 como algarismos distintos. Assim, temos quatro algarismos distintos: 12, 34, 5 e 6. Podemos permutar esses algarismos de 4! maneiras. No entanto, o 1 e o 2 podem ocupar duas posições diferentes (1º e 3º algarismos ou 2º e 4º algarismos), o que nos dá um fator de 2. Portanto, o número de números que podemos formar em que o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes e o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes é 2 x 4! = 48. Finalmente, o número de números que podemos formar em que o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes, mas o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes é igual a 720 - 240 - 240 + 48 = 288. Portanto, a alternativa correta é a letra D).