. Seja E = {x e Z | —5 x 5} e seja R a relação sobre E definida por xRy se, e somente se, x 2 + 2x = y2 + 2y a) Mostre que R é uma relação de equiv...

a) Para mostrar que R é uma relação de equivalência, precisamos verificar se ela satisfaz as três propriedades a seguir: - Reflexividade: Para todo x em E, xRx. Isso significa que x² + 2x = x² + 2x, o que é verdadeiro para qualquer x em E. - Simetria: Para todo x e y em E, se xRy, então yRx. Isso significa que se x² + 2x = y² + 2y, então y² + 2y = x² + 2x. Essa igualdade é verdadeira, portanto, a relação é simétrica. - Transitividade: Para todo x, y e z em E, se xRy e yRz, então xRz. Isso significa que se x² + 2x = y² + 2y e y² + 2y = z² + 2z, então x² + 2x = z² + 2z. Essa igualdade é verdadeira, portanto, a relação é transitiva. Como a relação R satisfaz as três propriedades acima, podemos concluir que ela é uma relação de equivalência. b) Para descrever as classes de equivalência, precisamos encontrar todos os elementos em E que são relacionados a cada um dos elementos dados. Vamos começar com a classe de equivalência de ó: - xR0 se, e somente se, x² + 2x = 0² + 2. Isso significa que x² + 2x = 2, ou seja, x² + 2x - 2 = 0. - Resolvendo a equação do segundo grau acima, obtemos x = -1 + sqrt(3) ou x = -1 - sqrt(3). Como esses dois valores estão em E, podemos concluir que a classe de equivalência de 0 é { -1 + sqrt(3), -1 - sqrt(3) }. Agora, vamos encontrar a classe de equivalência de -2: - xR(-2) se, e somente se, x² + 2x = (-2)² + 2*(-2). Isso significa que x² + 2x + 6 = 0. - Resolvendo a equação do segundo grau acima, obtemos x = -1 + sqrt(7) ou x = -1 - sqrt(7). Como esses dois valores estão em E, podemos concluir que a classe de equivalência de -2 é { -1 + sqrt(7), -1 - sqrt(7) }. Finalmente, vamos encontrar a classe de equivalência de 4: - xR4 se, e somente se, x² + 2x = 4² + 2*4. Isso significa que x² + 2x - 20 = 0. - Resolvendo a equação do segundo grau acima, obtemos x = 2 + sqrt(24) ou x = 2 - sqrt(24). Como esses dois valores não estão em E, não há elementos na classe de equivalência de 4 em E.