8. (Ita) São dadas as parábolas p•:y=-x£-4x-1 e p‚:y=x£-3x+11/4 cujos vértices são denotados, respectivamente, por V� e V‚. Sabendo que r é a reta ...

Para encontrar a distância da reta que contém os vértices das parábolas até a origem, precisamos encontrar a equação da reta que passa pelos vértices e, em seguida, encontrar a distância da origem a essa reta. Para encontrar a equação da reta que passa pelos vértices, precisamos encontrar as coordenadas do ponto de interseção das duas parábolas. Igualando as equações das parábolas, temos: -x£-4x-1 = x£-3x+11/4 2x£-x-15/4 = 0 8x£-4x-15 = 0 x = (4±√241)/8 Substituindo x na equação da parábola p•, temos: y = -[(4±√241)/8]£-4(4±√241)/8-1 y = -[(4±√241)/8]£-2±(√241+1)/2 y = -[(4±√241)/8]£-1±(√241+1)/4 Portanto, os vértices das parábolas são V• = ((4-√241)/8, -1+(√241+1)/4) e V‚ = ((4+√241)/8, 11/4-(√241+1)/4). Agora, podemos encontrar a equação da reta que passa pelos vértices V• e V‚. A inclinação da reta é dada por: m = (11/4-(√241+1)/4-(-1+(√241+1)/4))/((4+√241)/8-(4-√241)/8) m = (√241-3)/4 Substituindo a inclinação e as coordenadas de um dos vértices na equação da reta, temos: y - (-1+(√241+1)/4) = (√241-3)/4(x - (4-√241)/8) Simplificando, temos: y = (√241-3)x/4 + 5/2 Agora, podemos encontrar a distância da origem a essa reta. Substituindo x = 0 e y = 0 na equação da reta, temos: 0 = (√241-3)x/4 + 5/2 x = -10/(√241-3) Substituindo x na equação da reta, temos: y = (√241-3)(-10/(√241-3))/4 + 5/2 y = 7/√26 Portanto, a distância da reta até a origem é 7/√26, que corresponde à alternativa (b).