22. (ITA) São dadas as parábolas 1p : y x² 4x 1    e 2 11 p : y x² 3x 4   cujos vértices são denotados, respectivamente, por V1 e V2. Saben...

Para encontrar a distância da reta r até a origem, precisamos encontrar a equação da reta r e, em seguida, encontrar a distância da origem até a reta r. Primeiro, vamos encontrar a equação da reta r que passa pelos vértices V1 e V2. O vértice de uma parábola é dado por (-b/2a, -Δ/4a), onde a, b e c são os coeficientes da equação da parábola y = ax² + bx + c e Δ é o discriminante da equação. Para a parábola 1p, temos a = 1, b = -4 e c = 1. Substituindo na fórmula do vértice, temos: V1 = (-b/2a, -Δ/4a) = (2, -15/4) Para a parábola 2p, temos a = 1, b = -3 e c = 4. Substituindo na fórmula do vértice, temos: V2 = (-b/2a, -Δ/4a) = (3/2, -5/4) Agora, podemos encontrar a equação da reta r que passa pelos pontos V1 e V2. A equação geral da reta é dada por y = mx + n, onde m é o coeficiente angular e n é o coeficiente linear. O coeficiente angular m é dado por: m = (y2 - y1) / (x2 - x1) Substituindo os pontos V1 e V2, temos: m = (-5/4 - (-15/4)) / (3/2 - 2) = -5/2 Agora, podemos encontrar o coeficiente linear n substituindo um dos pontos na equação da reta: -5/4 = (-5/2)(3/2) + n n = 11/4 Portanto, a equação da reta r é y = -5x/2 + 11/4. Agora, podemos encontrar a distância da origem até a reta r usando a fórmula: d = |ax0 + by0 + c| / √(a² + b²) Onde (x0, y0) é um ponto qualquer da reta r e a, b e c são os coeficientes da equação da reta na forma geral ax + by + c = 0. Vamos escolher o ponto (0, 0) como ponto da reta r. Substituindo na equação da reta, temos: 0 = -5x/2 + 11/4 x = 11/10 Portanto, o ponto da reta r mais próximo da origem é (11/10, -11/4). Substituindo na fórmula da distância, temos: d = |(-5)(0) + (-2)(0) + 11/4| / √((-5/2)² + 1²) d = 11/4 / √(29/4) d = 11/4 * 2 / √29 d = 11/2√29 Portanto, a distância da reta r até a origem é 11/2√29, que corresponde à alternativa E.