2. (Ita) Considere um cone circular reto cuja geratriz mede Ë5cm e o diâmetro da base mede 2cm. Traçam-se n planos paralelos à base do cone, que o ...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a fórmula do volume do cone, que é dado por V = (1/3) * pi * r^2 * h, onde r é o raio da base do cone e h é a altura do cone. Sabemos que a geratriz do cone mede Ë5cm e o diâmetro da base mede 2cm, então podemos calcular o raio da base utilizando a fórmula do diâmetro: d = 2r => r = d/2 = 1cm. A razão entre os volumes do cone maior e do cone menor é 2, então podemos escrever: Vmaior/Vmenor = 2 Substituindo as fórmulas do volume do cone, temos: [(1/3) * pi * r^2 * H] / [(1/3) * pi * r^2 * h] = 2 Simplificando, temos: H/h = 2 Sabemos que os volumes dos cones formam uma progressão aritmética crescente cuja soma é igual a 2™, então podemos escrever: V1 + V2 + ... + Vn = 2™ Substituindo as fórmulas do volume do cone, temos: [(1/3) * pi * r^2 * h] + [(1/3) * pi * r^2 * 2h] + ... + [(1/3) * pi * r^2 * nh] = 2™ Simplificando, temos: (1/3) * pi * r^2 * h * (1 + 2 + ... + n) = 2™ (1/3) * pi * r^2 * h * (n * (n+1) / 2) = 2™ Substituindo os valores de r e da razão H/h, temos: (1/3) * pi * (1cm)^2 * h * (n * (n+1) / 2) = 2™ h * (n * (n+1) / 2) = (6 / pi) Sabemos que o tronco de cone é formado por dois planos consecutivos, então podemos calcular o volume do tronco de cone utilizando a fórmula: Vtronco = (1/3) * pi * (R^2 + r^2 + Rr) * H Onde R é o raio da base maior do tronco de cone, r é o raio da base menor do tronco de cone e H é a altura do tronco de cone. Sabemos que o raio da base maior do tronco de cone é igual ao raio da base do cone original, que é 1cm. O raio da base menor do tronco de cone é igual ao raio do cone que é cortado pelo plano superior do tronco de cone, que é dado por: r = R * (h - x) / H Onde x é a distância do plano inferior do tronco de cone até o plano que corta o cone, que é igual a H/n. Substituindo os valores, temos: r = 1 * (h - H/n) / H r = (n*h - H) / (n*H) Substituindo os valores de r, R e H na fórmula do volume do tronco de cone, temos: Vtronco = (1/3) * pi * [(1cm)^2 + ((n*h - H) / (n*H))^2 + 1cm * ((n*h - H) / (n*H))] * (H/n) Vtronco = (1/3) * pi * [(n^2 * h^2 - 2*n*h*H + H^2) / (n^2 * H^2) + 1 + n*h/H - H/n] * (H/n) Vtronco = (1/3) * pi * [(n^2 * h^2 - 2*n*h*H + H^2 + n^2 * H^2 + n^3 * h^2 - n^2 * h*H - n*H^2) / (n^3 * H^2)] * (H/n) Vtronco = (1/3) * pi * [(n^3 * h^2 + n^2 * H^2 - n*h*H - H^2) / (n^3 * H^2)] * (H/n) Vtronco = (1/3) * pi * [(n^3 * h^2 + n^2 * H^2 - n*h*H - H^2) / (n^4 * H)] * H Vtronco = (1/3) * pi * [(n^2 * h^2 + nH^2 - hH - H^2) / (n^3)] Vtronco = (1/3) * pi * [(n^2 * h^2 - (nH)^2) / (n^3)] Vtronco = (1/3) * pi * [(n^2 * h - nH) * (n^2 * h + nH) / (n^3)] Vtronco = (1/3) * pi * [(n * (n*h - H) / n) * (n * (n*h + H) / n) / n] Vtronco = (1/3) * pi * [(n*h - H) * (n*h + H) / n^2] Vtronco = (1/3) * pi * [(n^2 * h^2 - H^2) / n^2] Vtronco = (1/3) * pi * [(n^2 * h^2 - (6 / pi)^2) / n^2] Vtronco = (1/3) * pi * [(n^4 * h^2 - 36) / (n^2 * pi^2)] Vtronco = (1/3) * pi * [(n^2 * h^2 - 12) / pi^2] / n Portanto, a resposta correta é a letra D) 2™/15.