A equação polinomial p(x) = 0 de coeficientes reais e grau 6 é recíproca de 2• espécie e admite i como raiz. Se p(2)=-105/8 e p(-2)=255/8, então a ...

Para resolver essa questão, podemos utilizar algumas propriedades das equações polinomiais recíprocas de 2ª espécie. Sabemos que, se i é uma raiz de p(x), então -i também é uma raiz. Além disso, se p(x) é recíproca de 2ª espécie, então seus coeficientes satisfazem a relação a_n = a_0, a_{n-1} = a_1, a_{n-2} = a_2, ..., a_{\frac{n}{2}} = a_{\frac{n}{2}-1}, onde n é o grau do polinômio. Podemos escrever p(x) como p(x) = a(x-i)(x+i)(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)(x-r_4), onde r_1, r_2, r_3 e r_4 são as outras raízes de p(x). Como p(x) é recíproca de 2ª espécie, temos que a_6 = a_0, a_5 = a_1, a_4 = a_2 e a_3 = a_3. Além disso, como i é uma raiz, temos que p(i) = 0, o que nos dá a seguinte equação: a(i-i)(i+i)(i-r_1)(i-r_2)(i-r_3)(i-r_4) = 0 Simplificando, temos: a(i-r_1)(i-r_2)(i-r_3)(i-r_4) = 0 Como i é uma raiz, podemos dividir ambos os lados por (i-r_1)(i-r_2)(i-r_3)(i-r_4), obtendo: a = 0 Portanto, a_0 = 0 e a_6 = 0. Além disso, temos que p(2) = -105/8 e p(-2) = 255/8. Podemos utilizar essas informações para montar um sistema de equações e encontrar as outras raízes de p(x): p(2) = a(2-i)(2+i)(2-r_1)(2-r_2)(2-r_3)(2-r_4) = -105/8 p(-2) = a(-2-i)(-2+i)(-2-r_1)(-2-r_2)(-2-r_3)(-2-r_4) = 255/8 Dividindo a segunda equação pela primeira, obtemos: (-2-i)(-2+i)(-2-r_1)(-2-r_2)(-2-r_3)(-2-r_4)/(2-i)(2+i)(2-r_1)(2-r_2)(2-r_3)(2-r_4) = -3/5 Simplificando, temos: (-5/3)(-2-i)(-2+i) = (2-r_1)(2-r_2)(2-r_3)(2-r_4)/(2-i)(2+i) Multiplicando ambos os lados por (2-i)(2+i), obtemos: (-5/3)(-2-i)(-2+i)(2-i)(2+i) = (2-r_1)(2-r_2)(2-r_3)(2-r_4) Simplificando, temos: -25 = (2-r_1)(2-r_2)(2-r_3)(2-r_4) Como p(x) é um polinômio de grau 6, temos que o número total de raízes é 6. Como i e -i são duas raízes, temos que as outras quatro raízes são reais. Além disso, sabemos que a soma das raízes de um polinômio é dada pelo coeficiente de x elevado a n-1 dividido pelo coeficiente de x elevado a n. Nesse caso, temos que a soma das raízes é dada por: S = -(a_5/a_6) = -a_5 Podemos utilizar as informações que temos para encontrar a soma das raízes: p(x) = a(x-i)(x+i)(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)(x-r_4) p(0) = a(-i)(i)(-r_1)(-r_2)(-r_3)(-r_4) = -a(r_1)(r_2)(r_3)(r_4) p(2) = a(2-i)(2+i)(2-r_1)(2-r_2)(2-r_3)(2-r_4) = -105/8 p(-2) = a(-2-i)(-2+i)(-2-r_1)(-2-r_2)(-2-r_3)(-2-r_4) = 255/8 Multiplicando as quatro equações, obtemos: a^2(r_1)(r_2)(r_3)(r_4) = -105/8 * 255/8 Substituindo a_0 = 0 e a_6 = a, temos: a_1 = -a_5 = (a_2 + a_4)/(2a_6) = (r_1 + r_2 + r_3 + r_4)/2 Portanto, a soma das raízes é dada por: S = -(a_5/a_6) = -(a_2 + a_4)/(2a_6) = -(r_1 + r_2 + r_3 + r_4)/2 Substituindo os valores de a_6, a_5, r_1, r_2, r_3 e r_4 que encontramos, temos: S = -(-2-i-i-r_1-r_2-r_3-r_4)/2 = (2+i+r_1+r_2+r_3+r_4)/2 Podemos utilizar a equação -25 = (2-r_1)(2-r_2)(2-r_3)(2-r_4) para encontrar a soma das raízes: -25 = (2-r_1)(2-r_2)(2-r_3)(2-r_4) -25/16 = (2-r_1)(2-r_2)(2-r_3)(2-r_4)/16 -25/16 = (2-r_1+r_1-2)(2-r_2+r_2-2)(2-r_3+r_3-2)(2-r_4+r_4-2)/16 -25/16 = (16-4S+2S^2)/16 -25 = 16-4S+2S^2 2S^2-4S-41 = 0 Resolvendo essa equação do segundo grau, obtemos: S = (4 ± sqrt(16+8*41))/4 S = (4 ± sqrt(352))/4 S = (4 ± 4sqrt(22))/4 S = 1 ± sqrt(22) Portanto, a soma de todas as raízes de p(x) é igual a 1 + sqrt(22). A resposta correta é a alternativa E.