Determinar os pontos de máximo e mínimo locais da função f(x, y) = (y − x)(x2 + y2 − 32).

Para determinar os pontos de máximo e mínimo locais da função f(x, y) = (y − x)(x² + y² − 32), é necessário calcular as derivadas parciais da função em relação a x e y, igualá-las a zero e resolver o sistema de equações. Calculando as derivadas parciais, temos: fx = -3x² - y² + 32x fy = -x² - 3y² + 32y Igualando as derivadas parciais a zero, temos: -3x² - y² + 32x = 0 -x² - 3y² + 32y = 0 Resolvendo o sistema de equações, encontramos os pontos críticos: (x, y) = (0, 0), (4, 4), (-4, -4) Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos locais, é necessário calcular a matriz Hessiana da função: Hf = [(-6x+32) -2y; -2x (-2y+32)] Avaliando a Hessiana nos pontos críticos, temos: Hf(0,0) = [32 0; 0 -32] -> ponto de sela Hf(4,4) = [8 -8; -8 8] -> ponto de sela Hf(-4,-4) = [8 -8; -8 8] -> ponto de sela Portanto, a função não possui pontos de máximo ou mínimo locais, apenas pontos de sela.