Questão resolvida - Determine os máximos ou mínimos das funções sujeitas as seguintes restrições_ b) f(x,y)xy, sujeito a restrição xy1 - multiplicadores de Lagrange - Cálculo II - UFC

Prévia do material em texto

Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas / WhatsAPP: (71) 9927-17449
 
6) Determine os máximos ou mínimos das funções sujeitas as seguintes restrições: 
 
b) , sujeito a restrição .f x, y = x + y( ) x + y = 12 2
 
Resolução: 
 
Para determinar os máximos e mínimos sujeito a restrição dada, usamos a relação de 
Lagrange, definida por;
 
𝛻F x, y = 𝜆𝛻g x, y( ) ( )
 
Sendo que;
 
F x, y = x + y e g x, y = x + y = 1( ) ( ) 2 2
 
Então, o gradiente é;𝛻F x, y( )
 
𝛻F x, y = ⟨ , ⟩ = ⟨1, 1⟩( )
𝜕f
𝜕x
𝜕f
𝜕y
 
E o gradiente é;𝛻g x, y( )
 
𝛻g x, y = ⟨2x, 2y⟩( )
 
Substituindo os gradientes encontrados em 1, fica;
 
⟨1, 1⟩ = 𝜆⟨2x, 2y⟩
 
⟨1, 1⟩ = ⟨2x𝜆, 3y𝜆⟩
 
Isso nos leva ao seguinte sistema;
 
1 = 2x𝜆
1 = 2y𝜆
 
 
 
(1)
Isolando lambda em cada equação, temos;
 
1 = 2x𝜆 2x𝜆 = 1 𝜆 =→ ⏫⏪ 
1
2x
 
 
1 = 2y𝜆 2y𝜆 = 1 𝜆 =→ ⏫⏪ 
1
2y
Igualando os , fica;𝜆
 
= 2y = 2x y = y = x
1
2x
1
2y
→ →
2x
2
→
 
Substituindo o valor encontrado para (em função de ) na retrição, temos; y x
 
x + x = 1 2x = 1 x = x = ± = ± ⋅ = ± = ±2 2 → 2 → 2
1
2
→
1
2
1
2
2
2
2
2
2 2
2
 
O valor de máximo é dado para x = e o de mínimo para x = -
2
2
2
2
Dessa forma, os pontos de máximo e mínimo de sujeitos a restrição são;f x, y( ) x + y = 12 2
 
P = , e P = - , -máx
2
2
2
2
mín
2
2
2
2
 
 
 
 
(2)
(Resposta - b)