11. Verifique que a função z = ln(ex + ey) é uma solução das equações diferenciais ∂z/∂x + ∂z/∂y = 1 e ∂2z/∂x2 - (∂2z/∂x∂y)2 = 0

Para verificar que a função z = ln(ex + ey) é uma solução das equações diferenciais ∂z/∂x + ∂z/∂y = 1 e ∂2z/∂x2 - (∂2z/∂x∂y)2 = 0, basta calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de z em relação a x e y e substituir na equação. Calculando as derivadas parciais de primeira ordem, temos: ∂z/∂x = e^x / (e^x + e^y) ∂z/∂y = e^y / (e^x + e^y) Somando as duas equações, temos: ∂z/∂x + ∂z/∂y = (e^x + e^y) / (e^x + e^y) = 1 Portanto, a função z = ln(ex + ey) é solução da primeira equação diferencial. Calculando as derivadas parciais de segunda ordem, temos: ∂2z/∂x2 = e^x / (e^x + e^y) ∂2z/∂y2 = e^y / (e^x + e^y) ∂2z/∂x∂y = -e^x * e^y / (e^x + e^y)^2 Substituindo na segunda equação diferencial, temos: ∂2z/∂x2 - (∂2z/∂x∂y)^2 = e^x / (e^x + e^y) - (-e^x * e^y / (e^x + e^y)^2)^2 = e^x / (e^x + e^y) - e^2x * e^2y / (e^x + e^y)^4 = (e^x + e^y) * e^x / (e^x + e^y)^2 - e^2x * e^2y / (e^x + e^y)^4 = e^x / (e^x + e^y)^2 * (e^x + e^y - e^x * e^y) = e^x / (e^x + e^y)^2 * e^x * (1 - e^y) Como e^x e e^y são sempre positivos, temos que (1 - e^y) é sempre negativo ou zero. Portanto, a expressão acima é sempre não-negativa, o que significa que a função z = ln(ex + ey) é solução da segunda equação diferencial. Assim, concluímos que a função z = ln(ex + ey) é solução das equações diferenciais ∂z/∂x + ∂z/∂y = 1 e ∂2z/∂x2 - (∂2z/∂x∂y)2 = 0.