C2 Lista de Monitoria 6 - 2022_4

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Cálculo II - 2022-4
Atividade de Monitoria 6
Equipe de Monitoria
1. Determine e esboce o domínio da função.
a) f(x, y) =
√
x+ y
b) f(x, y) = ln (9− x2 − 9y2)
c) f(x, y) =
√
1− x2 −
√
1− y2
d) f(x, y) =
√
y − x2
1− x2
e) f(x, y) = arcsen(x2 + y2 − 2)
2. Descreva matematicamente e esboce algumas curvas de nível típicas das funções a seguir:
a) f(x, y) =
x− y
x+ y
b) f(x, y) = y − x2
c) f(x, y) = xy
d) f(x, y) = 5e−x
e) f(x, y) =
x2
4
+
y2
9
f) f(x, y) = xy2
3. Descreva as superfícies de nível da função.
a) f(x, y, z) = x+ 3y + 5z
b) f(x, y, z) = x2 + 3y2 + 5z2
c) f(x, y, z) = y2 + z2
d) f(x, y, z) = x2 − y2 − z2
4. Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe.
a) lim
(x,y)→(1,2)
(5x3 − x2y2)
b) lim
(x,y)→(1,−1)
e−xy cos (x+ y)
c) lim
(x,y)→(2,1)
4− xy
x2 + 3y2
d) lim
(x,y)→(1,0)
ln
1 + y2
x2 + xy
e) lim
(x,y)→(0,0)
x2 + sen2 y
2x2 + y2
f) lim
(x,y)→(0,0)
xy(x− y)
x4 + y2
g) lim
(x,y)→(0,0)
x4 − y4
x2 + 2y2
5. Calcular as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
a) f(x, y) = xy3 − x2y
b) f(x, y) =
xy
x2 + y2
c) f(x, y) = sen(x2) sen(
√
y)
d) f(x, y) = sen(8x) cos(x2 + y2)
e) f(x, y) =
√
sen(x2 + y2)
f) f(x, y) = cos(x2 + xy + y2)
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Universidade Federal do Pará
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g) f(x, y) = e−(x2+y2) h) f(x, y) = ln(x+ y2)
6. Calcule o gradiente das funções.
a) f(x, y, z) = x cos(yz)
b) f(x, y, z) =
x
x2 + y2 + z2
c) f(x, y, z) = xy ln(xyz)
d) f(x, y, z, w) = exp
(
x+ y
z − w
)
e) f(x, y, z, w) = 2xy2z3 +
1
2
wz2x2
f) f(x, y, z, w) =
sen(xz)
cos(yw)
7. Calcule as derivadas parciais
∂2z
∂x∂y
,
∂2z
∂y2
e
∂2z
∂y∂x
das funções.
a) z = x2 + cos(y sen(x)).
b) z = (xy)exy .
c) z =
x3 − y + cos(x)
y2 + x− sen(y)
.
d) z =
x
y
+
y
x
.
8. Verifique se a função u = e−α2k2tsen(kx) é solução da equação de condução do calor
ut = α
2uxx
9. Determine se cada u a das seguintes funções é solução da equação de laplace uxx+uyy = 0.
a) u = x2 + y2
b) u = x2 − y2
c) u = x3 + 3xy2
d) u = ln(
√
x2 + y2)
e) u = sen(x) cosh(y) + cos(x)(y)
f) u = e−x cos(y)− e−y cos(x)
10. Verifique se a função u = 1/
√
x2 + y2 + z2 é uma solução da equação de Laplace Tridi-
mensional uxx + uyy + uzz = 0
11. Verifique que a função z = ln(ex + ey) é uma solução das equações diferenciais
∂z
∂x
+
∂z
∂y
= 1
e
∂2z
∂x2
∂2z
∂y2
−
(
∂2z
∂x∂y
)2
= 0
2
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12. A lei dos gases para uma massa fixa m de um gás ideal à temperatura absoluta T , pressão
P e volume V é PV = mRT , onde R é a constante do gás. Mostre que
∂P
∂V
∂V
∂T
∂T
∂P
= −1
13. Encontre a função f(x, y) que satisfaça:
a)
∂f
∂x
= 8x3y2 − ex sen y − 1
3
3
√
x2
onde f(1, 0) = 3
b)
∂f
∂y
= 4x3y − ex cos y − 2x
y3
onde f(0, π/2) = 3
14. A temperatura em um ponto (x, y) de uma chapa de metal é dada por T (x, y) = 60/(1+
x2+y2), onde T é medido em °C e x, y em metros. Determine a taxa de variação de temperatura
no ponto (2,1) em (a) a direção x e (b) a direção y.
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