9. Se r(t) = ⟨et, e−2t, te2t⟩, determine T(0), r′′(0) e r′(t) · r′′(t).

Para determinar T(0), precisamos encontrar o vetor tangente unitário de r(t) em t = 0. Temos que r(0) = ⟨1, 1, 0⟩, então r'(0) = ⟨1, -2, 2⟩. Assim, temos que ||r'(0)|| = √(1² + (-2)² + 2²) = √9 = 3. Portanto, T(0) = r'(0)/||r'(0)|| = ⟨1/3, -2/3, 2/3⟩. Para encontrar r′′(0), precisamos derivar r(t) duas vezes. r′(t) = ⟨et, -2e-2t, 2te2t + e2t⟩ r′′(t) = ⟨et, -4e-2t, 6te2t + 4e2t⟩ Então, r′′(0) = ⟨1, -4, 4⟩. Por fim, para encontrar r′(t) · r′′(t), basta fazer o produto escalar entre os dois vetores: r′(t) · r′′(t) = (et)(et) + (-2e-2t)(-4e-2t) + (2te2t + e2t)(6te2t + 4e2t) r′(t) · r′′(t) = e2t + 8e-4t + 12t²e4t + 10te3t Espero ter ajudado!