C2 Lista de Monitoria 4 - 2022_4

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Cálculo II - 2022-4
Prática de Exercícios 4
Equipe de Monitoria
1. Determine o domínio das funções vetoriais a seguir:
a) r⃗(t) =
〈√
4− t2, e−3t, ln(t+ 1)
〉
b) r⃗(t) =
〈√
2− t, e
t − 1
t
, ln(t+ 1)
〉
c) r⃗(t) =
〈
cos t, ln 4− t,
√
t+ 1
〉
d) r⃗(t) =
t− 2
t+ 2
i + sin tj + ln(9− t2)k
2. Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada por:
a) r⃗ = ⟨t, 1⟩
b) r⃗(t) = ⟨sin t, t⟩
c) α⃗(t) = ⟨cos t, sin t⟩, 0 ≤ t ≤ 2π
d) β⃗(t) = ⟨t3, t2⟩
e) r⃗(t) = ⟨t, t3 − 10t+ 7⟩
f) r⃗(t) = ⟨2 cos(t), 2 sin(t), 3⟩
3. Determine uma equação vetorial e as equações paramétricas para o segmento de reta ligando
os pontos a seguir:
a) P (1, 3,−2) e Q(2,−1, 3)
b) P (−1, 1,−1) e Q(−2,−1, 2)
c) P (4, 0,−3) e Q(5,−4, 2)
d) P (
√
2, 3,−2) e Q(7, 1,−4)
e) P (0,−1, 1) e Q(1
2
, 1
3
, 1
4
)
f) P (a, b, c) e Q(u, v, w)
4. Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção das duas super-
fícies:
a) O cilindro de x2 + y2 = 4 e a superfície z = xy
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Universidade Federal do Pará
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b) O cone z =
√
x2 + z2 e o plano z = 1 + y
c) A hipérbole z = x2 − y2 e o cilindro x2 + y2 = 1
5. Calcule os limites:
a) lim
t→0
(
e−3ti +
t2
sen t
j + cos 2tk
)
b) lim
t→1
(
t2 − t
t− 1
i +
√
t+ 8j +
sin πt
ln t
k
)
c) lim
t→∞
(
1 + t2
1− t2
, tg−1 t,
1− 2−2t
t
)
d) lim
t→∞
(
te−t,
t3 + t
2t3 − 1
, t sin
1
t
)
6. Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações
paramétricas
a) x = t5, y = t4, z = t3; (1, 1, 1)
b) x = t2 − 1, y = t2 + 1, z = t+ 1; (−1, 1, 1)
c) x = ln t, y = 2
√
t, z = t2; (0, 2, 1)
d) x = t, y = e−t, z = 2t− t2; (0, 1, 0)
e) x = t cos t, y = t, z = t sin t; (−π, π, 0)
7. Determine a derivada da função vetorial:
a) r(t) =
〈
t sin t, t2, cos 2t
〉
b) r(t) =
〈
tg t, sec t, 1
t2
〉
c) r(t) =
1
1 + t
i +
t
1 + t
j +
t2
1 + t
k
d) r(t) = et2 i − j + ln (1 + 3t)k
e) r(t) = at cos 3ti + b sen3 tj + c cos3 tk
f) r(t) = a.i + b.tj + c.t2k
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8. Se r(t) = ⟨t, t2, t3⟩, encontre r′(t),T(1), r′′(t) e r′(t)× r′′(t).
9. Se r(t) = ⟨et, e−2t, te2t⟩, determine T(0), r′′(0) e r′(t) · r′′(t).
10. Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro t dado.
a) r(t) = ⟨6t5, 4t3, 2t⟩, t = 1
b) r(t) = 4
√
ti + t2j + tk, t = 1
c) r(t) = cos(t)i + 3tj + 2 sen(2t)k, t = 0
d) r(t) = 2 sen(t)i + 2 cos(t)j + tg(t)k, t =
π
4
.
11. Determine os vetores tangente e normal unitários T (t) e N(t)
a) r(t) =
〈
t, 3 cos t, 3 sen t
〉
b) r(t) =
〈
t2, sen t− cos t, cos t+ t sen t
〉
c) r(t) =
〈√
t, et, e−t
〉
d) r(t) =
〈
t, 1
2
t2, t2
〉
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