12) (UFSCar-2000) Seja A = [dc; ba] uma matriz 2 x 2 cujos coeficientes são números reais. a) Dada uma matriz A qualquer, verifique que B = 2(At + ...

a) Para verificar que B = 2(At + A) é uma matriz simétrica, precisamos mostrar que B é igual à sua transposta. Temos: Bt = (2(At + A))t Bt = 2(At)t + At Bt = 2A + At Agora, vamos calcular B: B = 2(At + A) Bt = 2(A + At) Podemos ver que Bt = B, portanto, B é simétrica. Para verificar que C = 2(At - A) é uma matriz anti-simétrica, precisamos mostrar que C é igual à sua transposta com sinal trocado. Temos: Ct = (2(At - A))t Ct = 2(At)t - At Ct = 2A - At Agora, vamos calcular C: C = 2(At - A) Ct = 2(A - At) Podemos ver que Ct = -C, portanto, C é anti-simétrica. b) Seja A = [dc; ba] uma matriz 2 x 2 qualquer. Podemos escrever A como a soma de uma matriz simétrica S e uma matriz anti-simétrica A da seguinte forma: S = 1/2(A + At) A = 1/2(A - At) Substituindo na equação B = 2(At + A), temos: B = 2(At + A) B = 2(At + 1/2(A - At)) B = 2(1/2(A + At) + 1/2(A - At)) B = 2S Substituindo na equação C = 2(At - A), temos: C = 2(At - A) C = 2(At - 1/2(A - At)) C = 2(1/2(A + At) - 1/2(A - At)) C = 2A Portanto, toda matriz 2 x 2 é a soma de uma matriz simétrica com uma matriz anti-simétrica.