17) (UFSCar-2008) Admita que a matriz cuja inversa seja formada apenas por elementos inteiros pares receba o nome de EVEN. Seja M uma matriz 2 × 2,...

a) Para que a matriz M seja EVEN, sua inversa deve ser formada apenas por elementos inteiros pares. Sabendo que o elemento da primeira linha e primeira coluna da inversa é igual a 2, podemos escrever a matriz inversa como: |2 | | |--|--| | | | Para que os demais elementos da matriz inversa sejam inteiros pares, o determinante da matriz M deve ser um número ímpar. O determinante de M é dado por: det(M) = (2x - 3)1 - 3x Para que det(M) seja ímpar, o valor de x deve ser par. Assim, temos: det(M) = (2x - 3)1 - 3x = 2x - 3 - 3x = -x Como det(M) é ímpar, temos que -x é ímpar, o que implica que x é par. Portanto, x = 2. b) Para encontrar a inversa de M, podemos utilizar a fórmula: M^-1 = (1/det(M)) * adj(M) Onde det(M) é o determinante de M e adj(M) é a matriz adjunta de M. Calculando o determinante de M, temos: det(M) = (2x - 3)1 - 3x = 2x - 3 - 3x = -x Substituindo x por 2, temos det(M) = -2. A matriz adjunta de M é dada por: adj(M) = | 3 -1 | |-2 1 | Assim, temos: M^-1 = (1/-2) * | 3 -1 | |-2 1 | M^-1 = | -3/2 1/2 | | 1 0 | Portanto, a inversa de M é: | -3/2 1/2 | | 1 0 |