Um grupo de 40 moradores de uma cidade decidiu decorar uma árvore de Natal gigante. Ficou combinado que cada um terá um número n de 1 a 40 e que os...

a) O morador número 13 colocará 13 enfeites por dia a partir do 13º dia. Portanto, ao final dos 40 dias, ele terá colocado um total de 13 + 14 + 15 + ... + 40 enfeites. Podemos calcular essa soma usando a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética: S = (a1 + an) * n / 2 Onde: a1 = 13 (primeiro termo) an = 40 (último termo) n = 28 (número de termos) Substituindo na fórmula, temos: S = (13 + 40) * 28 / 2 S = 23 * 28 S = 644 Portanto, o morador número 13 terá colocado um total de 644 enfeites ao final dos 40 dias. b) Sabemos que a Sra. X colocará um número m de enfeites ao final dos 40 dias, e que nenhum morador colocará mais enfeites do que ela. Portanto, o morador número 40 colocará no máximo m enfeites por dia a partir do 40º dia. Podemos calcular o número total de enfeites que ele colocará a partir do 40º dia usando a mesma fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética: S = (a1 + an) * n / 2 Onde: a1 = 40 (primeiro termo) an = 40 (último termo) n = 1 (número de termos) Substituindo na fórmula, temos: S = (40 + 40) * 1 / 2 S = 40 Portanto, a Sra. X terá colocado um total de m + (m-1) + (m-2) + ... + 40 enfeites ao final dos 40 dias. Podemos calcular essa soma subtraindo a soma dos enfeites colocados pelos moradores de 1 a 39 do total de enfeites colocados pelo morador número 40: m + (m-1) + (m-2) + ... + 40 = (40 + 41 + 42 + ... + 40 + m) - (1 + 2 + 3 + ... + 38 + 39) Simplificando a expressão, temos: m + (m-1) + (m-2) + ... + 40 = (40 + 41 + 42 + ... + m + 40) - (1 + 2 + 3 + ... + 38 + 39) m + (m-1) + (m-2) + ... + 40 = (40 + 41 + 42 + ... + m) + 40 - (39 + 38 + 37 + ... + 2 + 1) m + (m-1) + (m-2) + ... + 40 = (m*(m+1)/2 - 39*(40)/2) + 40 - (38*(39)/2) m + (m-1) + (m-2) + ... + 40 = (m*(m+1)/2 - 780) + 40 - 741 m + (m-1) + (m-2) + ... + 40 = m*(m+1)/2 - 701 2m + 2(m-1) + 2(m-2) + ... + 2*40 = m*(m+1) - 1402 2m*(m-39) = m*(m+1) - 1402 2m^2 - 79m - 1402 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, temos: m = (79 ± sqrt(79^2 + 4*2*1402)) / (2*2) m = (79 ± sqrt(6241 + 11216)) / 4 m = (79 ± sqrt(17457)) / 4 Como m deve ser um número inteiro, a única solução válida é: m = (79 + sqrt(17457)) / 4 m ≈ 34,8 Portanto, a Sra. X terá colocado um total de 34 enfeites ao final dos 40 dias.