Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α...

Podemos utilizar a lei dos senos para determinar a distância do barco até o ponto fixo P. Seja x a distância do barco até o ponto P. Temos que: sen(α) = x / AB sen(2α) = x / AP Podemos reescrever a segunda equação utilizando a identidade trigonométrica: sen(2α) = 2 sen(α) cos(α) Substituindo os valores conhecidos, temos: 2 sen(α) cos(α) = x / AP 2 sen(30°) cos(30°) = x / AP AP = x / (2 sen(30°) cos(30°)) AP = x / (sen(60°)) AP = 1,1547x A distância AP é igual a AB + BP. Podemos utilizar a lei dos cossenos para determinar BP: BP² = AB² + x² - 2ABx cos(2α) BP² = 2000² + x² - 2(2000)(x) cos(60°) BP² = 4x² - 2000x + 4 000 000 A distância AP é igual a: AP = AB + BP AP = 2000 + √(4x² - 2000x + 4 000 000) Substituindo o valor de AP encontrado anteriormente, temos: 1,1547x = 2000 + √(4x² - 2000x + 4 000 000) 1,3363x - 2000 = √(4x² - 2000x + 4 000 000) 1,7898x² - 5 344,2x + 4 000 000 = 4x² - 2000x + 4 000 000 0,7898x² - 3 344,2x = 0 x(0,7898x - 3 344,2) = 0 Como x não pode ser igual a zero, temos: 0,7898x - 3 344,2 = 0 x = 4 226,5 m Portanto, a menor distância do barco até o ponto fixo P será de aproximadamente 4 226,5 m. A alternativa correta é a letra E.