Olimpiada Cearense de Matematica Nivel 2 2022

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XLI Olimpı́ada Cearense de Matemática
Nı́vel 2 - Oitavo e Nono Anos
Problema 1. Um quadrado cearense é um tabuleiro 3 × 3 onde em
cada uma das 9 casas é escrito um número primo distinto, de modo
que as somas dos números de cada uma das três linhas, três colunas
e duas diagonais também são números primos (não necessariamente
distintos). A partir dos números escritos ao lado, forme um quadrado
cearense.
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19 23
Problema 2. Em uma lousa, os números 1, 2, 3, 4, 5 são escritos em alguma ordem.
A partir desses números, formamos uma segunda fileira com as quatro diferenças de
números vizinhos (por exemplo, se começamos com 1, 4, 3, 5, 2, então a segunda fileira é
−3, 1,−2, 3). Repetimos esse processo para formar a terceira fileira contendo 3 números,
a quarta fileira contendo 2 números e, finalmente, a quinta fileira contendo um único
número, que chamamos de T .
(a) Ache o maior valor posśıvel que T pode assumir.
(b) É posśıvel que T = 2?
Problema 3. Um número natural é um paĺındromo se coincidir com o número formado
a partir dele, com os algarismos escritos na ordem inversa. Por exemplo, 2002 e 19491
são paĺındromos, mas 2022 não o é.
(a) Prove que todo paĺındromo de três algarismos divide um paĺındromo de sete algaris-
mos.
(b) Prove que o paĺındromo 111 divide quarenta e cinco paĺındromos de cinco algarismos.
Problema 4. Seja ABC um triângulo retângulo. Exterior ao triângulo, constrúımos os
quadrados ABDE,BCFG,CAHI. Prove que existe um ćırculo passando pelos pontos
D,E, F,G,H, I se e somente se ABC é isósceles.
Problema 5. Inicialmente, temos desenhado no plano um poĺıgono de n lados, com todos
os vértices pintados de azul. Uma operação consiste no seguinte: traçar um segmento
com extremos em pontos azuis, desde que esse segmento não passe por nenhum outro
ponto azul; nesse caso, todas as interseções entre o segmento traçado e os anteriores são
pintadas de azul. Realizadas finitas operações, seja S o total de segmentos com extremos
em pontos azuis, sem nenhum outro ponto azul em seu interior (note: cada lado do
poĺıgono original é contado em S).
(a) Partindo de um 2022−ágono regular, mostre como realizar operações e dividir o
poĺıgono em 4040 triângulos de modo que haja exatamente 3032 pontos azuis e S =
7071.
(b) Existe algum poĺıgono para o qual, após um certo número de operações, o poĺıgono
seja dividido em 250 triângulos, haja mais de 500 pontos azuis e S < 750?
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