Exercício 4.28. Mostre que para todo a > 0, limh!0 loga(1 + h)h = 1ln a; limx!0 ax � 1x = ln a : (4.21)

O exercício 4.28 é uma questão de cálculo que envolve limites. Para mostrar que para todo a > 0, limh!0 loga(1 + h)h = 1ln a, podemos usar a definição de limite e algumas propriedades dos logaritmos. Começamos escrevendo a expressão como um limite: limh!0 loga(1 + h)h Em seguida, podemos usar a propriedade do logaritmo que diz que loga(b^c) = c loga(b) para reescrever o logaritmo como: limh!0 [loga(1 + h)] / h Agora, podemos usar a definição de limite para avaliar esse limite. Para isso, podemos aplicar a regra de L'Hôpital, que nos permite calcular o limite do quociente entre duas funções deriváveis. Derivando o numerador e o denominador, temos: limh!0 [1 / (1 + h) * ln(a)] = ln(a) Portanto, concluímos que limh!0 loga(1 + h)h = 1ln a. Para mostrar que limx!0 ax - 1x = ln a, podemos usar a mesma estratégia. Começamos escrevendo a expressão como um limite: limx!0 (ax - 1) / x Em seguida, podemos usar a definição de limite e a propriedade do logaritmo que diz que loga(b^c) = c loga(b) para reescrever a expressão como: limx!0 [exp(ln(a)x) - 1] / x Agora, podemos aplicar a regra de L'Hôpital, derivando o numerador e o denominador: limx!0 ln(a) * exp(ln(a)x) = ln(a) Portanto, concluímos que limx!0 ax - 1x = ln a.