Exercício 36. Sejam (a, b) um intervalo aberto em R, f : (a, b)→ R e x ∈ (a, b). Considere as seguintes afirmacoes: a) limh→0 |f(x+ h)− f(x)| = 0, ...

Para mostrar que a afirmação a) sempre implica b), podemos usar a desigualdade triangular: |f(x + h) - f(x - h)| <= |f(x + h) - f(x)| + |f(x) - f(x - h)| Como limh→0 |f(x + h) - f(x)| = 0, temos que para qualquer ε > 0, existe δ > 0 tal que se 0 < |h| < δ, então |f(x + h) - f(x)| < ε/2. Da mesma forma, temos que |f(x) - f(x - h)| < ε/2 para 0 < |h| < δ. Portanto, para qualquer ε > 0, existe δ > 0 tal que se 0 < |h| < δ, então |f(x + h) - f(x - h)| < ε, o que implica que limh→0 |f(x + h) - f(x - h)| = 0. Para dar um exemplo em que b) vale mas a) não é válido, podemos considerar a função f(x) = x em (0, 1). Temos que: limh→0 |f(x + h) - f(x - h)| = limh→0 |(x + h) - (x - h)| = limh→0 2h = 0 No entanto, limh→0 |f(x + h) - f(x)| = limh→0 |x + h - x| = limh→0 |h| = 0 apenas para x = 0. Para x ≠ 0, temos que limh→0 |f(x + h) - f(x)| = limh→0 |x + h - x| = limh→0 |h| = 0 apenas se x = 0. Portanto, a afirmação a) não é válida para x ≠ 0.