Exemplo 5.44. Qual é, dentre os cilíndros inscritos numa esfera de raio R, o de volume máximo? Um cílindro cuja base tem raio r, e cuja altura é h ...

Exemplo 5.44. Qual é, dentre os cilíndros inscritos numa esfera de raio R, o de volume máximo? Um cílindro cuja base tem raio r, e cuja altura é h tem volume V = �r2h. Quando o cilíndro é inscrito na esfera de raio R centrada na origem, r e h dependem um do outro: R r hr2 + (h 2 )2 = R2 Assim, V pode ser escrito como função de uma variável só. Em função de r, V (r) = 2�r2 p R2 � r2 ; r 2 [0; R] ; ou em função de h: V (h) = �h(R2 � h2 4 ) ; h 2 [0; 2R] : Para achar o cílindro de volume máximo, procuremos o máximo global de qualquer uma dessas funções no seu domínio. Consideremos por exemplo V (r). Como V é derivável em (0; R), temos V 0(r) = 2� � 2r p R2 � r2 + r2 �rp R2 � r2 = 2�r 2R2 � 3r2p R2 � r2 : Portanto, V 0(r) = 0 se e somente se r = 0 ou 2R2�3r2 = 0. Logo, o único ponto crítico de V em (0; R) é r� = q 2=3R (' 0:82R). Estudando o sinal de V 0 obtemos a variação de V : r V 0(r) Variaç. de V p 2=3R + 0 � máx.máx. Na fronteira do intervalo [0; R], V (0) = 0 e V (R) = 0. Logo, V atinge o seu máximo global em r�. Portanto, o cilíndro com volume máximo que pode ser inscrito numa esfera de raio R tem base com raio r�, e altura h� = 2 q R2 � r2� = 2p 3 R (' 1:15R).