Exercício 6.12. Se a > 0, calcule In = R a 0 x 1=ndx. Calcule limn!1 In, e dê a interpretação geométrica da solução. (Dica: lembre dos esboços das ...

O exercício 6.12 pede para calcular a integral definida de 0 a a de x elevado a n dx, onde a é um número positivo. A solução é: Integrando x elevado a n, temos: ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C Aplicando os limites de integração, temos: ∫[0,a] x^n dx = a^(n+1)/(n+1) - 0^(n+1)/(n+1) = a^(n+1)/(n+1) Para calcular o limite da integral quando n tende ao infinito, podemos usar o critério de comparação com a série harmônica. Como a integral é maior ou igual a 0 para todo n, temos: 0 <= In <= a^(n+1)/(n+1) Podemos comparar a integral com a série harmônica: ∑ 1/n A série harmônica diverge, ou seja, tende ao infinito. Portanto, pelo critério de comparação, a integral também diverge quando n tende ao infinito. A interpretação geométrica da solução é que a integral representa a área sob a curva y = x^n no intervalo de 0 a a. Quando n é um número inteiro positivo, a curva é uma função polinomial que começa em (0,0) e termina em (a,a^n). A área sob a curva é a soma das áreas de infinitos retângulos de largura dx e altura x^n, que converge para a área do triângulo de base a e altura a^n/1, que é a^(n+1)/(n+1). Quando n tende ao infinito, a área sob a curva se torna infinita, pois a curva se aproxima cada vez mais do eixo x sem nunca tocá-lo.