Exercício 6.18. Calcule 1. R e�x senx dx 2. R e�st cos t dt 3. R sen(lnx) dx

1. Para calcular R e^x sen(x) dx, podemos usar integração por partes. Vamos escolher u = sen(x) e dv = e^x dx. Então, temos du/dx = cos(x) e v = e^x. Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: R e^x sen(x) dx = e^x sen(x) - R e^x cos(x) dx Agora, podemos usar integração por partes novamente, escolhendo u = cos(x) e dv = e^x dx. Então, temos du/dx = -sen(x) e v = e^x. Aplicando a fórmula de integração por partes novamente, temos: R e^x sen(x) dx = e^x sen(x) - e^x cos(x) + R e^x sen(x) dx Agora, podemos isolar o termo que queremos encontrar: R e^x sen(x) dx = (e^x sen(x) - e^x cos(x))/2 + C onde C é a constante de integração. 2. Para calcular R e^st cos(t) dt, podemos usar integração por partes. Vamos escolher u = cos(t) e dv = e^st dt. Então, temos du/dt = -sen(t) e v = (1/s)e^st. Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: R e^st cos(t) dt = (1/s)e^st cos(t) + (1/s)R e^st sen(t) dt Agora, podemos usar integração por partes novamente, escolhendo u = sen(t) e dv = e^st dt. Então, temos du/dt = cos(t) e v = (1/s)e^st. Aplicando a fórmula de integração por partes novamente, temos: R e^st cos(t) dt = (1/s)e^st cos(t) + (1/s)e^st sen(t) - (1/s^2)R e^st cos(t) dt Agora, podemos isolar o termo que queremos encontrar: R e^st cos(t) dt = [(s/(s^2+1))e^st cos(t) + (1/(s^2+1))e^st sen(t)] + C onde C é a constante de integração. 3. Para calcular R sen(ln(x)) dx, podemos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos escolher u = ln(x), então du/dx = 1/x e dx = e^u du. Substituindo na integral, temos: R sen(ln(x)) dx = R sen(u) e^u du Agora, podemos usar integração por partes, escolhendo u = sen(u) e dv = e^u du. Então, temos du/dx = cos(u) e v = e^u. Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: R sen(ln(x)) dx = -cos(u) e^u sen(u) + R cos(u) e^u du Agora, podemos usar integração por partes novamente, escolhendo u = cos(u) e dv = e^u du. Então, temos du/dx = -sen(u) e v = e^u. Aplicando a fórmula de integração por partes novamente, temos: R sen(ln(x)) dx = -cos(u) e^u sen(u) - sen(u) e^u cos(u) - R sen(u) e^u du Agora, podemos isolar o termo que queremos encontrar: R sen(ln(x)) dx = (-cos(u) e^u sen(u) - sen(u) e^u cos(u))/2 + C onde C é a constante de integração.