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2º Bimestre 2010 • Funções e domínios • Função de 1º Grau • Funções de 2º Grau • Função Seno e função Cosseno Professora Amanda Prina 22/05/2010 Considere dois conjuntos A e B. Sabendo que o conjunto A possui os valores de x e o conjunto B possui os valores de y, podemos dizer que B é uma função de A, se, e somente se, para cada valor de A atribuído, exista em correspondência apenas um valor de y em B. A B 1 2 3 4 2 4 6 8 Considere dois conjuntos A e B. Sabendo que o conjunto A possui os valores de x e o conjunto B possui os valores de y, podemos dizer que B é uma função de A, se, e somente se, para cada valor de A atribuído, exista em correspondência apenas um valor de y em B. A B 1 2 3 4 2 4 6 8 Como obtemos o domínio de uma função? 1. Precisamos saber o que é domínio. Domínio seriam todos os valores de x que podem ser substituídos na função para que ela seja válida. Exemplo: 1 y x Qual seria o domínio, ou seja, os valores de x que podem ser atribuídos nessa função?? ...-3,-2,-1,... Antes de respondermos a essa pergunta, precisamos conhecer quais são os conjuntos numéricos existentes... π е 2 5 I Existe o conjunto dos números inteiros,que são todos os números positivos e negativos, incluindo o zero. Existe o conjunto dos números naturais, que são todos os números positivos, incluindo o zero. Existe o conjunto dos números racionais, que são os números que podem ser escritos em forma de fração. I Existe o conjunto dos números irracionais, que são os números que não podem ser escritos em forma de fração. O conjunto dos números reais representa a união de todos os conjuntos. 0, 1, 2, 3, 4 ... 1 y x Agora que conhecemos os conjuntos podemos escrever o domínio da função. Olhando para a função, podemos perceber que ela tem uma restrição. O valor de x não poderá ser zero, pois se for a função não será válida. O domínio será então: { / 0}D x x Construindo o gráfico da função do Excel, podemos verificar o domínio. Outro exemplo: 3y x A restrição dessa função seriam os valores negativos dentro da raiz quadrada. Portanto: 3 0 3 x x O domínio será então: { / 3}D x x Observando o gráfico, podemos observar como a função se comporta. y=ax+b Onde, a=coeficiente angular b= coeficiente linear O coeficiente angular nos mostra como será o gráfico. Se a>0, função crescente Se a<0, função decrescente y = x + 2 -4 -2 0 2 4 6 8 -6 -4 -2 0 2 4 6 y = -x + 2 -4 -2 0 2 4 6 8 -6 -4 -2 0 2 4 6 O coeficiente linear é o ponto onde a reta corta o eixo y. O x nesse ponto vale zero. O par ordenado será (0,b) y = x + 2 -4 -2 0 2 4 6 8 -6 -4 -2 0 2 4 6 Coeficiente linear b A raiz de uma função do 1º grau é o ponto onde a função corta o eixo x, também pode ser chamado de zero da função. O y nesse ponto vale zero. O par ordenado será (x’,0) y = x + 2 -4 -2 0 2 4 6 8 -6 -4 -2 0 2 4 6 Coeficiente linear b Raiz ou zero da função Exemplo: Encontre a equação correspondente ao gráfico abaixo e ache sua raiz. -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -4 -3 -2 -1 0 1 1 2 1 2 1 y a x y y a x x 2 1 y1 y2 x1 x2 11,5 5,5 3 ( 1) a 6 2 a 3a Para achar o coeficiente linear, como não conseguimos ver no gráfico, podemos substituir um ponto na equação da reta junto com o coef. angular. -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -4 -3 -2 -1 0 1 y ax b ( 1;5,5)P 5,5 3 ( 1) 5,5 3 5,5 3 2,5 b b b b Equação da reta: 3 2,5y x Para acharmos a raiz, basta chamarmos y=0 na equação da reta encontrada. y ax b 0 3 2,5 3 2,5 2,5 3 0,833 x x x x -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -4 -3 -2 -1 0 1 Ponto onde a reta corta o eixo x, o y vale zero. Se a<0, parábola com concavidade para baixo. Se a>0, parábola com concavidade para cima. 2y a x b x c O coeficiente do termo de grau 2 (a) mostra como será a concavidade da parábola y=x²+x y=-x²+x Pontos importantes da parábola. Raiz x’ Raiz x’’ Vértice Ponto onde corta o eixo y vy vx vy Ponto onde corta o eixo y: Par ordenado: (0,c) Raízes ou zero da função: Precisamos de Bhaskara. O y nas raízes sempre será zero. 20 ' 2 '' 2 a x b x c b x a b x a 2 4b a c Onde, 2 4 v v b x a y a Vértice da parábola. Como Δ está dentro de uma raiz quadrada, ele determinará quantas raízes a função terá. Se Δ >0, então a função terá duas raízes reais e distintas. Se Δ =0, então a função terá duas raízes reais e iguais. Se Δ <0, então a função não terá raízes. Função Seno ( )y a sen b x a é a amplitude da função b é a frequência da função cos( )y a b x Função Cosseno a é a amplitude da função b é a frequência da função amplitude Período Função Cosseno Esta parte da função representa ¼ de volta. A frequência da função determina quantas voltas ela realizará de 0 até 2π. Neste caso, a função realiza só uma volta de 0 até 2π (6,28). Período Período 1 cos(1 ) 2 : 2 1 y x Período Frequência Período 3 cos(2 ) 2 : 3,14 2 y x Período Frequência Período 3 cos(3 ) 2 : 2,094 3 y x Período Frequência Período 2 cos(4 ) 2 : 1,571 4 2 y x Período Função Seno amplitude Período A frequência da função determina quantas voltas ela realizará de 0 até 2π. Neste caso, a função realiza só uma volta de 0 até 2π (6,28). Período Período Frequência 2 (0,5 ) 2 : 4 12,56 0,5 y sen x Período Frequência 2 (0,25 ) 2 : 8 25,13 0,25 y sen x Período Frequência 3 2 ( ) 4 2 4 8 : 2 8,38 3 3 3 4 y sen x Período Frequência Período2 (1,25 ) 2 4 8 : 2 5,03 5 5 5 4 y sen x Período
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