Exemplo 6.43. Suponha que se queira calcular a área da região �nita delimitada pelo eixo x e pelo grá�co da função f(x) = x(lnx)2 (essa função foi ...

Exemplo 6.43. Suponha que se queira calcular a área da região �nita delimitada pelo eixo x e pelo grá�co da função f(x) = x(lnx)2 (essa função foi estudada no Exercício 5.75): Como f(x) não é de�nida em x = 0, essa área precisa ser calculada via a integral imprópria Z 1 0+ x(lnx)2 dx = lim �!0+ Z 1 � x(lnx)2 dx : A primitiva de x(lnx)2 para x > 0 já foi calculada no Exercício 6.19: logo, Z 1 � x(lnx)2 dx = � 1 2 x2(lnx)2 � 1 2 x2 lnx+ 1 4 x2 �����1 � = 1 4 � 1 2 �2(ln �)2 + 1 2 �2 ln �� 1 4 �2 Pode ser veri�cado, usando a Regra de B.H., que lim�!0+ � 2(ln �)2 = lim�!0+ � 2 ln � = 0, logo Z 1 0+ x(lnx)2 dx = 1 4 :