Exercício 6.33. Considere a região R delimitada pelo grá�co da função f(x) = cosx, pelas retas x = �2, x = �, e pelo eixo x. Monte duas integrais, ...

Para calcular o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno da reta x = -1, podemos utilizar o método dos discos ou o método das cascas. Método dos discos: - Para calcular o volume de cada disco, precisamos integrar a área da seção transversal do sólido perpendicular à reta de rotação. - A seção transversal é um círculo com raio f(x) = cos(x) e centro na reta x = -1. - O raio do círculo é a distância entre f(x) e a reta de rotação, que é d(x) = 1 + x. - Assim, o volume do sólido é dado por: V = ∫[de -2 até -1] π[f(x)]² dx V = ∫[-2 até -1] π[cos(x) + 1]² dx Método das cascas: - Para calcular o volume de cada casca, precisamos integrar a área da superfície lateral do sólido. - A superfície lateral é formada por um anel com raio externo f(x) = cos(x) e raio interno d(x) = 1 + x, e altura dx. - Assim, o volume do sólido é dado por: V = ∫[de -2 até -1] 2π[f(x)][d(x)] dx V = ∫[-2 até -1] 2π[cos(x)][1 + x] dx Para calcular o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno da reta y = -1, podemos utilizar o método dos discos ou o método das cascas. Método dos discos: - Para calcular o volume de cada disco, precisamos integrar a área da seção transversal do sólido perpendicular à reta de rotação. - A seção transversal é um círculo com raio f(x) = cos(x) - (-1) = cos(x) + 1 e centro na reta y = -1. - O raio do círculo é a distância entre f(x) e a reta de rotação, que é d(x) = x. - Assim, o volume do sólido é dado por: V = ∫[de -2 até 0] π[f(x)]² dx V = ∫[-2 até 0] π[cos(x) + 2]² dx Método das cascas: - Para calcular o volume de cada casca, precisamos integrar a área da superfície lateral do sólido. - A superfície lateral é formada por um anel com raio externo f(x) = cos(x) + 1 e raio interno d(x) = x, e altura dx. - Assim, o volume do sólido é dado por: V = ∫[de -2 até 0] 2π[f(x)][d(x)] dx V = ∫[-2 até 0] 2π[cos(x) + 1][x] dx