Exercício 6.10. (3a prova, primeiro semestre de 2011) Calcule a área da região �nita delimitada pelo grá�co da função y = lnx e pelas retas y = �1,...

Para calcular a área da região finita delimitada pelo gráfico da função y = ln(x) e pelas retas y = -1, y = 2 e x = 0, é necessário dividir a região em duas partes: uma abaixo do eixo x e outra acima. A área abaixo do eixo x é dada por: ∫(de 0 a 1) ln(x) dx Fazendo a integração por partes, temos: ∫(de 0 a 1) ln(x) dx = [xln(x) - x] (de 0 a 1) = -1 A área acima do eixo x é dada por: ∫(de 1 a e²) ln(x) dx Fazendo a integração por partes, temos: ∫(de 1 a e²) ln(x) dx = [xln(x) - x] (de 1 a e²) = e²ln(e²) - e² - ln(1) + 1 = 2e² - e² - 1 = e² - 1 Portanto, a área total é dada pela soma das áreas acima e abaixo do eixo x: A = ∫(de 0 a 1) ln(x) dx + ∫(de 1 a e²) ln(x) dx = -1 + e² - 1 = e² - 2.