EQUAÇÃO DO 1º GRAU 1. DEFINIÇÃO DE EQUAÇÃO Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o ...

EQUAÇÃO DO 1º GRAU
1. DEFINIÇÃO DE EQUAÇÃO
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos: a) 082 =+x b) 7645 +=− xx c) 03 =+− cba Não são equações: a) 5784 +=+ (Não é uma sentença aberta) b) 05 +x (Não é igualdade) c) 126  (Não é sentença aberta, nem igualdade) 2. FUNÇÃO CONSTANTE Se byxf ==)( , então f é uma função polinomial constante, cujo grau é zero. O domínio da função é o conjunto dos números R e a imagem o conjunto } {b . O seu gráfico é uma reta paralela ao eixo x , passando pelo ponto ) 0, ( b . 3. DEFINIÇÃO DE EQUAÇÃO DO 1O GRAU A equação do 1o grau é toda equação que pode ser reduzida à forma 0=+ bax , onde x representa a incógnita e a e b são números racionais, com 0a . Numa equação, cada elemento recebe um nome específico. Vejamos os nomes dos elementos da equação xx −=+ 1253 : A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita é a quantidade desconhecida de uma equação ou de um problema; aquilo que é desconhecido e se procura saber; enigma; mistério (Dicionário Silveira Bueno, Editora LISA) Na equação acima a incógnita é x ; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede denomina-se 2º membro. Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação. 4. TERMOS SEMELHANTES DE UMA EQUAÇÃO Dois ou mais termos são denominados semelhantes, quando apresentam a mesma variável. 5. PARTE LITERAL DE UMA EQUAÇÃO A parte literal é formada pelas variáveis da equação. 6. OPERAÇÕES COM OS TERMOS SEMELHANTES DE UMA EQUAÇÃO a. Adição: Adicionamos os coeficientes, conservando a parte literal; b. Subtração: Subtraímos os coeficientes, conservando a parte literal; c. Multiplicação de um termo com variável por um número: Multiplicamos o coeficiente pelo número, conservando a parte literal; d. Divisão de um termo com variável por um número: Dividimos o coeficiente pelo número, conservando a parte literal. 7. CONJUNTO VERDADE E CONJUNTO UNIVERSO DE UMA EQUAÇÃO Considere o conjunto } 5 ,4 ,3 2, 1, 0, {=A e a equação 52 =+x . Observe que o número 3 do conjunto A é denominado “conjunto universo” da equação e o conjunto }3{ é o “conjunto verdade” dessa mesma equação. Observe este outro exemplo: Determine os números inteiros que satisfazem a equação 25 2=x . O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo da equação. Os números 5− e 5 , que satisfazem a equação, formam o “conjunto verdade”, podendo ser indicado por: }5 ,5{−=V . Daí conclui que: “Conjunto universo” é o conjunto de todos os valores que variável pode assumir. Indica-se por U . “Conjunto verdade” é o conjunto dos valores de U , que tornam verdadeira a equação. Indica-se por V . Observações: − O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo. UV  − Não sendo citado o conjunto universo, devemos considerar como conjunto universo o conjunto dos números racionais. QU = − O conjunto verdade é também conhecido por “conjunto solução” e pode ser indicado por S . 8. RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes da equação. Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte sequência: − Substituir a incógnita por esse número; − Determinar o valor de cada membro da equação; − Verificar a igualdade, sendo uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação. Resolver uma equação do 1o grau com uma incógnita significa determinar a solução ou raiz dessa equação. 9. RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO Para resolver uma equação do 1o grau, devemos: a. Separar os números das partes literais. Para tanto, passamos todas as partes literais para o 1o membro invertendo a operação e de forma análoga, todos os números para o 2o membro invertendo a operação; b. Resolvem-se as operações; c. Dar a resposta, ou seja, identificar quem é o conjunto verdade. Exemplos: Achar o conjunto verdade das equações dadas, sendo RU = : a) 105 =+ x −= 510x Passamos o 5 para o segundo membro, invertendo a operação (a adição se transforma em subtração) 5=x e portanto, } 5 {=V , porque R5 b) 7 3 12 2 3 =− − + xx 1 7 3 12 2 3 =− − + xx =− − (7) 6 6 )12( 2 6 )3( 3 xx Calculamos o mmc. =−−+ (7) 6)12( 2)3( 3 xx Eliminamos o denominador =+−+ 422493 xx Eliminamos os parênteses −−=− 294243 xx Separamos os termos que têm variável para o 1o membro e os termos que não têm variável para o 2o membro =− 31x Reduzimos os termos semelhantes −=− ) 1 ( 31x Multiplicamos por 1− para eliminarmos o sinal negativo da variável 31−=x e portanto, } 31 {−=V , porque R− 31 10. ESTUDO DO GRÁFICO NO PLANO CARTESIANO PARA UMA EQUAÇÃO DO 1O GRAU É a função RRf : tal que baxy += . A raiz: a b xbaxbaxy 0 −==++= O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, baxy += , com 0a , é uma reta oblíqua aos eixos 0x e 0y. Exemplo: 13 −= xy x y 0 1− 3 1 0 Vimos que o gráfico da função afim baxy += é uma reta. O coeficiente de x (a ), é chamado “coeficiente angular da reta” e, está ligado “à inclinação da reta em relação ao eixo 0x”. O termo constante, b, é chamado “coeficiente linear da reta”. Para 0=x , temos bbay =+= 0. . Assim, o coeficiente linear é a “ordenada do ponto em que a reta corta o eixo 0y”. 11. PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DO 1º GRAU 1) O gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta; 2) Na função baxxf +=)( , se 0=b , f é dita “função linear”, e sempre passa na origem, ponto de coordenadas ) 0 ,0 ( ; 3) Na função baxxf +=)( , se 0=b e 1=a , f é dita “função identidade”; 4) Na função baxxf +=)( , se 0b , f é dita “função afim”; 5) O gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação 0)( =xf e, portanto, no ponto de abscissa a b x −= ; 6) O gráfico intercepta o eixo dos y no ponto ) ,0 ( b , onde b é chamado “coeficiente linear”; 7) O valor a é chamado “coeficiente angular” e dá a inclinação da reta; 8) Se 0a , então f é crescente; 9) Se 0a , então f é decrescente; 10) Quando a função é linear, ou seja, axxfy == )( , o gráfico é uma reta que sempre passa na origem. 12. ESTUDO DO SINAL Estudar o sinal de qualquer )(xfy = é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo. Consideremos uma função afim baxxfy +== )( vamos estudar seu sinal.