Equação do 1 grau

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Matemática I Profa Nelcimar Ribeiro Modro 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU 
1. DEFINIÇÃO DE EQUAÇÃO 
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra 
equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos: 
a) 082 =+x 
b) 7645 +=− xx 
c) 03 =+− cba 
 
Não são equações: 
a) 5784 +=+ (Não é uma sentença aberta) 
b) 05 +x (Não é igualdade) 
c) 126  (Não é sentença aberta, nem igualdade) 
 
2. FUNÇÃO CONSTANTE 
Se byxf ==)( , então f é uma função polinomial constante, cujo grau é zero. 
O domínio da função é o conjunto dos números R e a imagem o conjunto } {b . O seu gráfico é 
uma reta paralela ao eixo x , passando pelo ponto ) 0, ( b . 
 
 
3. DEFINIÇÃO DE EQUAÇÃO DO 1O GRAU 
A equação do 1o grau é toda equação que pode ser reduzida à forma 0=+ bax , onde x 
representa a incógnita e a e b são números racionais, com 0a . 
Numa equação, cada elemento recebe um nome específico. 
Vejamos os nomes dos elementos da 
equação xx −=+ 1253 : 
 
 
 
 
 
 
A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita é a quantidade desconhecida de uma 
equação ou de um problema; aquilo que é desconhecido e se procura saber; enigma; mistério 
(Dicionário Silveira Bueno, Editora LISA) 
Na equação acima a incógnita é x ; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º 
membro, e o que sucede denomina-se 2º membro. Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um 
termo da equação. 
 
4. TERMOS SEMELHANTES DE UMA EQUAÇÃO 
Dois ou mais termos são denominados semelhantes, quando apresentam a mesma variável. 
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5. PARTE LITERAL DE UMA EQUAÇÃO 
A parte literal é formada pelas variáveis da equação. 
 
6. OPERAÇÕES COM OS TERMOS SEMELHANTES DE UMA EQUAÇÃO 
a. Adição: Adicionamos os coeficientes, conservando a parte literal; 
b. Subtração: Subtraímos os coeficientes, conservando a parte literal; 
c. Multiplicação de um termo com variável por um número: Multiplicamos o coeficiente pelo 
número, conservando a parte literal; 
d. Divisão de um termo com variável por um número: Dividimos o coeficiente pelo número, 
conservando a parte literal. 
 
7. CONJUNTO VERDADE E CONJUNTO UNIVERSO DE UMA EQUAÇÃO 
Considere o conjunto } 5 ,4 ,3 2, 1, 0, {=A e a equação 52 =+x . 
Observe que o número 3 do conjunto A é denominado “conjunto universo” da equação e o 
conjunto }3{ é o “conjunto verdade” dessa mesma equação. 
Observe este outro exemplo: Determine os números inteiros que satisfazem a equação 25
2
=x . 
O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo da equação. Os números 5− e 5 , que 
satisfazem a equação, formam o “conjunto verdade”, podendo ser indicado por: }5 ,5{−=V . Daí 
conclui que: 
“Conjunto universo” é o conjunto de todos os valores que variável pode assumir. Indica-se por 
U . “Conjunto verdade” é o conjunto dos valores de U , que tornam verdadeira a equação. Indica-se 
por V . 
 
Observações: 
− O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo. UV  
− Não sendo citado o conjunto universo, devemos considerar como conjunto universo o conjunto 
dos números racionais. QU = 
− O conjunto verdade é também conhecido por “conjunto solução” e pode ser indicado por S . 
 
8. RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO 
Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes da equação. Para 
verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte sequência: 
− Substituir a incógnita por esse número; 
− Determinar o valor de cada membro da equação; 
− Verificar a igualdade, sendo uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação. 
Resolver uma equação do 1o grau com uma incógnita significa determinar a solução ou raiz 
dessa equação. 
 
9. RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO 
Para resolver uma equação do 1o grau, devemos: 
a. Separar os números das partes literais. Para tanto, passamos todas as partes literais para o 1o 
membro invertendo a operação e de forma análoga, todos os números para o 2o membro 
invertendo a operação; 
b. Resolvem-se as operações; 
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c. Dar a resposta, ou seja, identificar quem é o conjunto verdade. 
Exemplos: Achar o conjunto verdade das equações dadas, sendo RU = : 
a) 105 =+ x 
−= 510x Passamos o 5 para o segundo membro, invertendo 
a operação (a adição se transforma em subtração) 
5=x 
e portanto, } 5 {=V , porque R5 
 
 
b) 7
3
 12 
2
 3 
=
−
−
+ xx
 
1
 7 
3
 12 
2
 3 
=
−
−
+ xx
 
=
−
−
+
 
6
 (7) 6 
6
 )12( 2 
6
 )3( 3 xx
 Calculamos o 
mmc. 
=−−+ (7) 6)12( 2)3( 3 xx Eliminamos o denominador 
=+−+ 422493 xx Eliminamos os parênteses 
−−=− 294243 xx Separamos os termos que têm variável para o 1o membro e os termos que 
não têm variável para o 2o membro 
=− 31x Reduzimos os termos semelhantes 
−=− ) 1 ( 31x Multiplicamos por 1− para eliminarmos o sinal negativo da variável 
31−=x 
e portanto, } 31 {−=V , porque R− 31 
 
 
10. ESTUDO DO GRÁFICO NO PLANO CARTESIANO PARA UMA EQUAÇÃO DO 1O GRAU 
É a função RRf : tal que baxy += . A raiz: 
a
b
xbaxbaxy
 
0 −==++= 
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, baxy += , com 0a , é uma reta oblíqua aos 
eixos 0x e 0y. 
 
Exemplo: 13 −= xy 
x y 
0 1− 
 3 
1
 
0 
 
 
Vimos que o gráfico da função afim baxy += é uma reta. O coeficiente de x (a ), é chamado 
“coeficiente angular da reta” e, está ligado “à inclinação da reta em relação ao eixo 0x”. 
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O termo constante, b, é chamado “coeficiente linear da reta”. Para 0=x , temos 
bbay =+= 0. . Assim, o coeficiente linear é a “ordenada do ponto em que a reta corta o eixo 0y”. 
 
11. PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
 
1) O gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta; 
2) Na função baxxf +=)( , se 0=b , f é dita “função linear”, e sempre passa na origem, ponto 
de coordenadas ) 0 ,0 ( ; 
3) Na função baxxf +=)( , se 0=b e 1=a , f é dita “função identidade”; 
4) Na função baxxf +=)( , se 0b , f é dita “função afim”; 
5) O gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação 0)( =xf e, portanto, no ponto de abscissa 
a
b
x
 
−= ; 
6) O gráfico intercepta o eixo dos y no ponto ) ,0 ( b , onde b é chamado “coeficiente linear”; 
7) O valor a é chamado “coeficiente angular” e dá a inclinação da reta; 
8) Se 0a , então f é crescente; 
9) Se 0a , então f é decrescente; 
10) Quando a função é linear, ou seja, axxfy == )( , o gráfico é uma reta que sempre passa na 
origem. 
 
12. ESTUDO DO SINAL 
Estudar o sinal de qualquer )(xfy = é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os 
valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo. 
Consideremos uma função afim baxxfy +== )( vamos estudar seu sinal. 
 
1) 0a (a função é crescente) 
a
b
xbaxbaxy
 
0 −+→+ 
 e 
a
b
xbaxbaxy
 
0 −+→+ 
 
Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y 
é negativo para valores de x menores que a raiz. 
 
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2) 0a (a função é decrescente) 
a
b
xbaxbaxy
 
0 −+→+ 
 e 
a
b
xbaxbaxy
 
0 −+→+ 
 
Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; 
y é negativo para valores de x maiores que a raiz. 
 
 
13. EQUAÇÃO DE UMA RETA 
Toda reta está associada a uma equação da forma 0=++ cbyax , chamada equação geral da 
reta, onde a , b e c são números reais, 0a ou 0b e ) , ( yx representa um ponto genérico da 
reta. 
Podemos determinar a equação de uma reta a partir de algumas situações. Vejamos: 
a) Dois pontos: A equação da reta que passa pelos pontos ) , ( 11 yx e ) , ( 22 yx é dada por: 
 12
12
1
1
xx
yy
xx
yy
−
−
=
−
−
 ou )(
 
1
12
12
1 xx
xx
yy
yy −
−
−
=− 
 
Exemplo: Determine a equação da reta que passa por ) 3 ,1 ( e ) 5 ,3 ( . 
) 3 ,1 () , ( 11 =yx e )5 ,3 () , ( 22 =yx 
)1(
 13 
35
3)(
 
1
12
12
1 −
−
−
=−→−
−
−
=− xyxx
xx
yy
yy 
31)1(
 2 
2
3 +−=→−=− xyxy 
2+= xy 
Resposta: A equação da reta é 2+= xy 
 
b) Um ponto e o coeficiente angular: A equação da reta que passa por um ponto ) , ( 11 yx e tem 
coeficiente angular a é dada por: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑎 (𝑥 − 𝑥1) 
Exemplo: Determine a equação da reta que passa por ) 3 ,1 ( e tem coeficiente angular igual a 5. 
) 3 ,1 () , ( 11 =yx e 𝑎 = 5 
𝑦 − 𝑦1 = 𝑎 (𝑥 − 𝑥1) → 𝑦 − 3 = 5 (𝑥 − 1) 
𝑦 = 5𝑥 − 5 + 3 → 𝑦 = 5𝑥 − 2 
Resposta: A equação da reta é 25 −= xy 
 
14. RETAS PARALELAS E PERPENDICULARES 
Dadas as retas 𝑦1 = 𝑎1𝑥 + 𝑏1 e 𝑦2 = 𝑎2𝑥 + 𝑏2, teremos as seguintes definições: 
a) Duas retas, não verticais, são paralelas se, e somente se, elas têm o mesmo coeficiente angular, 
isto é, 𝑎1 = 𝑎2. 
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b) Duas retas, não verticais, são perpendiculares se, e somente se, seus coeficientes angulares são 
simétricos e inversos, isto é, 𝑎1 = −
1
 𝑎2 
. 
Exemplos: 
1) As retas 231 += xy e 232 −= xy são paralelas (o coeficiente angular das duas é 3). Veja o 
gráfico a seguir: 
 
2) As retas 231 += xy e 2
3
 1 
2 +−= xy são perpendiculares (os coeficientes angulares são 3 e 
3
 1 
− ). Veja o gráfico a seguir: 
 
 
 
15. INTERSEÇÃO ENTRE DUAS RETAS 
A interseção entre duas retas é o ponto onde as retas se interceptam, se houver tal ponto. 
Exemplo: Dadas as retas 131 += xy e 142 +−= xy , a interseção entre elas é o ponto do plano onde 
21 yy = , ou seja: 
1413 +−=+ xx 
1143 −=+ xx 
07 =x 
0=x 
Logo 1=y (pode-se substituir em qualquer das equações, já que o ponto é a interseção de 
ambas). Daí, o ponto ) 1 ,0 ( e a interseção das duas retas. 
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INEQUAÇÃO DO 1º GRAU 
1. DESIGUALDADE 
Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por uma desigualdade. As inequações 
do 1º grau com uma variável podem ser escritas numa das seguintes formas: 0+ bax ; 0+ bax ; 
0+ bax ; 0+ bax ; com a e b reais )0( a . 
Exemplos: 072 −x ; 0
2
7
5
3
+
x
; 0
2
1
2 x ; 0123 +x 
 
2. INEQUAÇÃO 
Inequação é uma sentença matemática aberta que sugere desigualdade entre duas expressões. 
Assim, as expressões são separadas pelo sinal  (maior que),  (maior ou igual que),  (menor que) 
e  (menor ou igual que). 
 
3. INEQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 
Dizemos que a inequação é do 1o grau quando a maior expoente da variável for 1 (um). 
Exemplos: 
a. 10206 −x 
b. 4455 −+ xx 
c. 73
22
−+ xxx 
d. 51
2
+ xx 
Nos exemplos a e b temos inequações do 1o grau, pois representa uma desigualdade, x é a variável 
(valor desconhecido) e o maior expoente da variável é 1, Já nos exemplos c e d temos inequações do 
2o grau, pois representa uma desigualdade, x é a variável (valor desconhecido) e o maior expoente da 
variável é 2. 
 
4. RESOLUÇÃO DAS INEQUAÇÕES DO 1O GRAU 
As regras para a resolução das equações do 1o grau valem para as resoluções de inequações do 1o 
grau. Lembre-se que quando se multiplica uma inequação por 1− (menos um), o sinal da desigualdade 
muda junto com os outros sinais. 
 
Exemplo: Calcule a inequação, sendo RU = 
8512 +− xx 
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1852 +− xx 
) 1 ( 93 −− x 
93 −x 
3
 9 
−x 
3−x , portanto, } 3/ { −= xRxV 
 
 
PROBLEMAS SOBRE EQUAÇÃO DO 1º GRAU 
Linguagem Matemática: 
 
Um número x 
Sucessivo de um número 1+x 
O dobro de um número x2 
O triplo de um número x3 
O quadruplo de um número x4 
A metade de um número 
2
 x
 
A terça parte de um número 
3
 x
 
A quarta parte de um número 
4
 x
 
Dois terços de um número 
3
 2 x
 
Três quartos de um número 
4
 3 x
 
Dois quintos de um número 
5
 2 x
 
 
 
Exemplo: O dobro de um número somado com 5 é igual a 91. Qual é esse número? 
43
2
 86 
862
5912
9152
=
=
=
−=
=+
x
x
x
x
x
 
Resposta: O número é 43.