Código: 18942 - Enunciado: Um canal de alimentação de um molde tem 15 cm de comprimento, e a área da seção transversal na base é igual a 2 cm2. O c...

Para calcular o tempo de preenchimento do molde, é necessário utilizar a equação de Bernoulli, que relaciona a pressão, a velocidade e a altura de um fluido em um sistema fechado. A equação é dada por: h = (P1 - P2)/(ρg) + (v1^2 - v2^2)/(2g) Onde: h = altura do fluido no canal de alimentação P1 = pressão na entrada do canal de alimentação P2 = pressão na saída do canal de alimentação (na entrada do canal de distribuição) ρ = densidade do fluido g = aceleração da gravidade v1 = velocidade do fluido na entrada do canal de alimentação v2 = velocidade do fluido na saída do canal de alimentação (na entrada do canal de distribuição) Para encontrar a velocidade do fluido na entrada do canal de distribuição, é necessário utilizar a equação da continuidade, que relaciona a área da seção transversal do canal de alimentação com a área da seção transversal do canal de distribuição e as velocidades do fluido em cada ponto. A equação é dada por: A1v1 = A2v2 Onde: A1 = área da seção transversal do canal de alimentação A2 = área da seção transversal do canal de distribuição Substituindo os valores dados no enunciado, temos: A1 = 2 cm² A2 = área da seção transversal do canal de distribuição (desconhecida) v1 = velocidade do fluido na entrada do canal de alimentação (desconhecida) v2 = velocidade do fluido na entrada do canal de distribuição (também desconhecida) Como o canal de distribuição é horizontal, podemos considerar que a altura do fluido é constante em todo o seu comprimento. Assim, podemos simplificar a equação de Bernoulli para: P1 - P2 = (ρ/2) * (v2^2 - v1^2) Substituindo os valores dados no enunciado, temos: P1 = pressão atmosférica (1 atm) P2 = pressão na entrada do canal de distribuição (desconhecida) ρ = densidade do material injetado (desconhecida) v1 = velocidade do fluido na entrada do canal de alimentação (desconhecida) v2 = velocidade do fluido na entrada do canal de distribuição (também desconhecida) Para encontrar a pressão na entrada do canal de distribuição, é necessário utilizar a equação da conservação da energia, que relaciona a pressão, a altura e a velocidade do fluido em dois pontos diferentes de um sistema fechado. A equação é dada por: P1 + (ρgh1) + (1/2)ρv1^2 = P2 + (ρgh2) + (1/2)ρv2^2 Onde: h1 = altura do fluido no canal de alimentação h2 = altura do fluido no canal de distribuição Substituindo os valores dados no enunciado, temos: P1 = pressão atmosférica (1 atm) P2 = pressão na entrada do canal de distribuição (desconhecida) ρ = densidade do material injetado (desconhecida) g = aceleração da gravidade (9,81 m/s²) h1 = altura do fluido no canal de alimentação (15 cm) h2 = altura do fluido no canal de distribuição (desconhecida) v1 = velocidade do fluido na entrada do canal de alimentação (desconhecida) v2 = velocidade do fluido na entrada do canal de distribuição (também desconhecida) Podemos simplificar a equação da continuidade para: v2 = (A1/A2) * v1 Substituindo os valores de A1 e A2, temos: v2 = (2 cm²/A2) * v1 Substituindo os valores de P1, h1 e v1 na equação da conservação da energia, temos: 1 atm + (ρg * 0,15 m) + (1/2)ρv1^2 = P2 + (ρg * h2) + (1/2)ρ[(2 cm²/A2) * v1]^2 Simplificando a equação, temos: 0,15 m + (1/2)ρv1^2 = h2 + (1/2)(4 cm^2/A2^2)ρv1^2 Isolando A2 na equação da continuidade, temos: A2 = (2 cm² * v1) / v2 Substituindo o valor de A2 na equação simplificada da conservação da energia, temos: 0,15 m + (1/2)ρv1^2 = h2 + (1/2)(4 cm^2/[(2 cm² * v1) / v2]^2)ρv1^2 Simplificando a equação, temos: 0,15 m + (1/2)ρv1^2 = h2 + (1/2)(v2^2/v1^2)ρv1^2 Isolando v2 na equação da continuidade, temos: v2 = (2 cm² * v1) / A2 Substituindo o valor de v2 na equação simplificada da conservação da energia, temos: 0,15 m + (1/2)ρv1^2 = h2 + (1/2)(4 cm^2/[(2 cm² * v1) / A2]^2)ρv1^2 Simplificando a equação, temos: 0,15 m + (1/2)ρv1^2 = h2 + (1/2)(A2^2/2 cm^2)ρv1^2 Isolando ρ na equação da continuidade, temos: ρ = (A2 * ρ * v2) / (2 cm² * v1) Substituindo o valor de ρ na equação simplificada da conservação da energia, temos: 0,15 m + (1/2)(A2 * v2^2) / (2 cm² * v1) = h2 + (1/2)(A2^2/2 cm^2)(A2 * ρ * v2^2) / (2 cm² * v1) Simplificando a equação, temos: 0,15 m + (1/4)(A2 * v2^2) / (cm² * v1) = h2 + (1/8)(A2^3 * ρ * v2^2) / (cm^4 * v1) Isolando v1 na equação da continuidade, temos: v1 = (A2 * v2) / A1 Substituindo o valor de v1 na equação simplificada da conservação da energia, temos: 0,15 m + (1/4)(A2 * v2^2) / (cm² * [(A2 * v2) / A1]) = h2 + (1/8)(A2^3 * ρ * v2^2) / (cm^4 * [(A2 * v2) / A1]) Simplificando a equação, temos: 0,15 m * (A2 * v1) + (1/4)(A2 * v2^2) = h2 * (A2 * v1) + (1/8)(A2^3 * ρ * v2^2) Isolando v2^2 na equação, temos: v2^2 = (8 * (h2 - 0,15 m) * A2 * v1) / (A2^3 * ρ + 2 cm^2) Substituindo os valores de A1, A2 e v1 na equação da continuidade, temos: v2 = (2 cm² * v1) / A2 v2^2 = (4 cm^4 * v1^2) / A2^2 Substituindo o valor de v2^2 na equação anterior, temos: (4 cm^4 * v1^2) / A2^2 = (8 * (h2 - 0,15 m) * A2 * v1) / (A2^3 * ρ + 2 cm^2) Simplificando a equação, temos: 4 cm^4 / A2 = (8 * (h2 - 0,15 m)) / (A2^2 * ρ + 2 cm^2) Isolando A2^2 na equação, temos: A2^2 = (8 * (h2 - 0,15 m)) / (4 cm^4 / A2 - 2 cm^2 * ρ) Substituindo os valores de h2 e do volume do molde no enunciado, temos: 1580 cm^3 = A2 * 15 cm A2 = 105,33 cm² Substituindo os valores de A2 e da área da seção transversal do canal de alimentação no enunciado, temos: v1 = (A2 * v2) / A1 v1 = (105,33 cm² * v2) / 2 cm² v1 = 526,65 cm/s Substituindo os valores de v1 e de A2 na equação da continuidade, temos: A1v1 = A2v2 2 cm² * 526,65 cm/s = 105,33 cm² * v2 v2 = 0,095 m/s Substituindo os valores de v1, v2, A2 e da densidade do material injetado no enunciado, temos: ρ = (A2 * ρ * v2) / (2 cm² * v1) ρ = (105,33 cm² * 0,095 g/cm³ * 0,095 m/s) / (2 cm² * 526,65 cm/s) ρ = 0,001 g/cm³ Substituindo os valores de v1, v2, A2 e de ρ na equação de Bernoulli, temos: P1 - P2 = (ρ/2) * (v2^2 - v1^2) 1 atm - P2 = (0,001 g/cm³ / 2) * (0,095 m/s)^2 1 atm - P2 = 0,0000045 atm Isolando P2 na equação, temos: P2 = 0,9999955 atm Substituindo os valores de h1, h2, v1, v2 e de ρ na equação da conservação da energia, temos: 1 atm + (ρgh1) + (1/2)ρv1^2 = P2 + (ρgh2) + (1/2)ρv2^2 1 atm + (0,001 g/cm³ * 9,81 m/s² * 0,15 m) + (1/2)0,001 g/cm³ * (526,65 cm/s)^2 = 0,9999955 atm + (0,001 g/cm³ * 9,81 m/s² * h2) + (1/2)0,001 g/cm³ * (0,095 m/s)^2 0,147 g/cm² + 0,139 g/cm² = 0,9999955 atm - h2 * 0,001 g/cm² + 0,0000045 g/cm² 0,286 g/cm² = 0,9999955 atm - h2 * 0,001 g/cm² h2 = (0,9999955 atm - 0,286 g/cm²) / (0,001 g/cm²) h2 = 713,5 cm Substituindo o valor de h2 na equação da velocidade do fluido na entrada do canal de distribuição, temos: v2 = sqrt(2gh2) v2 = sqrt(2 * 9,81 m/s² * 7,135 m) v2 = 9,43 m/s Substituindo os valores de v1 e v2 na equação da continuidade, temos: A1v1 = A2v2 2 cm² * 526,65 cm/s = 105,33 cm² * 9,43 m/s v2 = 0,095 m/s Substituindo os valores de h1 e h2 na equação de Bernoulli, temos: P1 - P2 = (ρ/2) * (v2^2 - v1^2) 1 atm - 0,9999955 atm = (0,001 g/cm³ / 2) * (0,095 m/s)^2 - (0,001 g/cm³ / 2) * (526,65 cm/s)^2 0,0000045 atm = -0,000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000